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Montrer que pour tout x appartient à R+, | sin(x) | <ou= à x
alphonsio

On va montrer que pour tout x∈R+x \in \mathbb{R}^+, on a :

∣sin⁡(x)∣≤x|\sin(x)| \leq x

1. Étude sur l'intervalle [0,+∞[[0, +\infty[

La fonction sin⁡(x)\sin(x) est bornée :

∣sin⁡(x)∣≤1pour tout x∈R|\sin(x)| \leq 1 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}

Mais on veut montrer que le sinus est dominé par xx quand x≥0x \geq 0, c’est-à-dire :

∣sin⁡(x)∣≤x|\sin(x)| \leq x

2. Cas de x∈[0,π]x \in [0, \pi]

Sur cet intervalle, sin⁡(x)≥0\sin(x) \geq 0, donc ∣sin⁡(x)∣=sin⁡(x)|\sin(x)| = \sin(x).
On connaît l’inégalité classique :

0≤sin⁡(x)≤xpour x∈[0,π]0 \leq \sin(x) \leq x \quad \text{pour } x \in [0, \pi]

Donc ici, on a bien :

∣sin⁡(x)∣=sin⁡(x)≤x|\sin(x)| = \sin(x) \leq x

3. Cas général x∈R+x \in \mathbb{R}^+

On utilise le fait que sin⁡(x)\sin(x) est périodique de période 2π2\pi, donc bornée, et que :

∣sin⁡(x)∣≤1≤xdeˋs que x≥1|\sin(x)| \leq 1 \leq x \quad \text{dès que } x \geq 1

En effet, pour tout x≥1x \geq 1, on a :

∣sin⁡(x)∣≤1≤x|\sin(x)| \leq 1 \leq x

Donc, sur tout R+\mathbb{R}^+, on a :

∣sin⁡(x)∣≤x|\sin(x)| \leq x

4. Cas limite : x=0x = 0

∣sin⁡(0)∣=0=0|\sin(0)| = 0 = 0

Donc l’inégalité est encore vérifiée.

Conclusion finale :

∀x∈R+,∣sin⁡(x)∣≤x\boxed{\forall x \in \mathbb{R}^+, \quad |\sin(x)| \leq x}