Pour démontrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, on a :
$$\sin(x) \leq x$$
nous pouvons utiliser une approche basée sur l'étude de la fonction $f(x) = x - \sin(x)$.

Étude de la fonction $f(x) = x - \sin(x)$

Définissons la fonction :

$$f(x) = x - \sin(x)$$

Calculons sa dérivée :

$$f'(x) = 1 - \cos(x)$$

Or, pour tout $x \geq 0$, on sait que $\cos(x) \leq 1$, donc :

$$1 - \cos(x) \geq 0$$

Cela implique que $f(x)$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$. De plus, on a :

$$f(0) = 0 - \sin(0) = 0$$

Donc, pour tout $x \geq 0$, on a $f(x) \geq 0$, soit :

$$x - \sin(x) \geq 0$$

ce qui est équivalent à :

$$\sin(x) \leq x$$

Conclusion

Nous avons démontré que pour tout $x \geq 0$, la fonction $f(x) = x - \sin(x)$ est croissante et positive, ce qui implique que :

$$\sin(x) \leq x, \quad \forall x \in \mathbb{R}^+.$$