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Dans le plan, quel est le polynôme qui passe par 3 points ?
alphonsio

En général, par trois points du plan (tous distincts et non alignés verticalement), il existe un unique polynôme de degré ≤ 2 qui passe par ces points.
Autrement dit : on peut toujours déterminer un polynôme quadratique :

P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c

tel que :

P(x1)=y1,P(x2)=y2,P(x3)=y3.P(x_1)=y_1,\quad P(x_2)=y_2,\quad P(x_3)=y_3.

Formule explicite : interpolation de Lagrange

Le polynôme passant par les trois points (x1,y1)(x_1,y_1), (x2,y2)(x_2,y_2) et (x3,y3)(x_3,y_3) est :

P(x)=y1(x−x2)(x−x3)(x1−x2)(x1−x3)∗y2(x−x1)(x−x3)(x2−x1)(x2−x3)+y3(x−x1)(x−x2)(x3−x1)(x3−x2).\begin{aligned} P(x) &= y_1 \frac{(x - x_2)(x - x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} \\ &* y_2 \frac{(x - x_1)(x - x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} \\ &+ y_3 \frac{(x - x_1)(x - x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)}. \end{aligned}

Cette expression garantit que P(xi)=yiP(x_i)=y_i pour chaque point.

Cas particuliers

  • Si les 3 points ont les mêmes abscisses, il n’existe aucun polynôme fonction x↦P(x)x \mapsto P(x) qui puisse les passer.
  • Si les 3 points sont alignés, alors le polynôme est en fait de degré ≤ 1.
  • Si deux points ont la même abscisse, seul un polynôme représenté comme fonction de (x) ne peut convenir, mais on peut trouver une paramétrisation (hors du cadre demandé).