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Montre que les nombre ln(x+sqrt(x²+1)) et ln(x+sqrt(x²+1)) sont définis pour tout réel x et sont opposés.
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Pour montrer que les expressions ln⁡(x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) et ln⁡(−x+x2+1)\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) sont définies pour tout réel xx et qu'elles sont opposées, procédons par étapes.

1. Montrons que ln⁡(x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) et ln⁡(−x+x2+1)\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) sont définis pour tout réel xx.

Pour que le logarithme naturel ln⁡(y)\ln(y) soit défini, l'argument yy doit être strictement positif, c'est-à-dire y>0y > 0.

a. Étudions x+x2+1x + \sqrt{x^2 + 1} :

  • L'expression sous la racine, x2+1\sqrt{x^2 + 1}, est toujours définie et positive pour tout xx, car x2+1≥1x^2 + 1 \geq 1.
  • De plus, x2+1≥∣x∣\sqrt{x^2 + 1} \geq |x|, donc x+x2+1≥x+∣x∣x + \sqrt{x^2 + 1} \geq x + |x|.
    • Si x≥0x \geq 0, alors x+x2+1≥x+x=2x≥0x + \sqrt{x^2 + 1} \geq x + x = 2x \geq 0.
    • Si x<0x < 0, alors x+x2+1≥x−x=0x + \sqrt{x^2 + 1} \geq x - x = 0, et en réalité x+x2+1>0x + \sqrt{x^2 + 1} > 0.

Donc, x+x2+1>0x + \sqrt{x^2 + 1} > 0 pour tout xx, ce qui signifie que ln⁡(x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) est défini pour tout xx.

b. Étudions −x+x2+1-x + \sqrt{x^2 + 1} :

  • Similairement, x2+1≥∣x∣\sqrt{x^2 + 1} \geq |x|, donc −x+x2+1≥−x+∣x∣-x + \sqrt{x^2 + 1} \geq -x + |x|.
    • Si x≥0x \geq 0, alors −x+x2+1≥−x+x=0-x + \sqrt{x^2 + 1} \geq -x + x = 0, et en réalité −x+x2+1>0-x + \sqrt{x^2 + 1} > 0.
    • Si x<0x < 0, alors −x+x2+1≥−x−x=−2x>0-x + \sqrt{x^2 + 1} \geq -x - x = -2x > 0.

Donc, −x+x2+1>0-x + \sqrt{x^2 + 1} > 0 pour tout xx, ce qui signifie que ln⁡(−x+x2+1)\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) est défini pour tout xx.

2. Montrons que ln⁡(x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) et ln⁡(−x+x2+1)\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) sont opposés.

Nous devons montrer que :
ln⁡(x+x2+1)=−ln⁡(−x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1})

Cela revient à prouver que :
ln⁡(x+x2+1)+ln⁡(−x+x2+1)=0\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0
Ou encore, en utilisant la propriété des logarithmes ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(a×b)\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b), nous avons :
ln⁡((x+x2+1)×(−x+x2+1))=0\ln\left((x + \sqrt{x^2 + 1}) \times (-x + \sqrt{x^2 + 1})\right) = 0
Calculons le produit :
(x+x2+1)×(−x+x2+1)=−x2+(x2+1)2(x + \sqrt{x^2 + 1}) \times (-x + \sqrt{x^2 + 1}) = -x^2 + (\sqrt{x^2 + 1})^2
Développons le terme (x2+1)2(\sqrt{x^2 + 1})^2 :
(x2+1)2=x2+1(\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 + 1
Donc :
(x+x2+1)×(−x+x2+1)=−x2+x2+1=1(x + \sqrt{x^2 + 1}) \times (-x + \sqrt{x^2 + 1}) = -x^2 + x^2 + 1 = 1
Ainsi, on a :
ln⁡(1)=0\ln(1) = 0
Ce qui prouve que :
ln⁡(x+x2+1)+ln⁡(−x+x2+1)=0\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + \ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0
Donc :
ln⁡(x+x2+1)=−ln⁡(−x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) = -\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1})

Conclusion : Les fonctions ln⁡(x+x2+1)\ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) et ln⁡(−x+x2+1)\ln(-x + \sqrt{x^2 + 1}) sont définies pour tout réel xx, et elles sont opposées.