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Est-ce que |b-a| = |a-b|
alphonsio

L'égalité |b - a| = |a - b| est toujours vraie.

Oui, l'égalité est toujours vraie :

∣b−a∣=∣a−b∣|b - a| = |a - b|

Explication :

La valeur absolue ∣x∣|x| est définie comme :

∣x∣={xsi x≥0−xsi x<0|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Donc :

  • Si a<ba < b, alors b−a>0b - a > 0 et a−b<0a - b < 0

  • Donc :

    ∣b−a∣=b−a,∣a−b∣=−(a−b)=b−a⇒∣b−a∣=∣a−b∣|b - a| = b - a, \quad |a - b| = -(a - b) = b - a \Rightarrow |b - a| = |a - b|

En termes de distance

La valeur absolue d’un nombre est toujours positive ou nulle. Elle mesure la distance entre deux nombres sur la droite réelle, sans tenir compte du sens.

∣b−a∣=distance entre b et a|b - a| = \text{distance entre } b \text{ et } a ∣a−b∣=distance entre a et b|a - b| = \text{distance entre } a \text{ et } b

Or, la distance entre deux points est la même dans un sens ou dans l’autre, donc :

∣b−a∣=∣a−b∣|b - a| = |a - b|

Exemple :

Si a=3a = 3 et b=7b = 7 :

  • ∣b−a∣=∣7−3∣=∣4∣=4|b - a| = |7 - 3| = |4| = 4
  • ∣a−b∣=∣3−7∣=∣−4∣=4|a - b| = |3 - 7| = |-4| = 4

Donc c’est bien égal.