En mathématiques, en particulier dans le domaine de l'analyse fonctionnelle, une fonction de contraction (ou application contractante) sur un espace métrique $(M, d)$ est une fonction $f$ de $M$ vers lui-même qui a la propriété de "rapprocher" les points. Plus précisément, il existe un nombre réel $k$ tel que $0 \le k < 1$, appelé constante de Lipschitz ou facteur de contraction, tel que pour tous $x$ et $y$ dans $M$, la distance entre leurs images sous $f$ est inférieure ou égale à $k$ fois la distance entre $x$ et $y$ :

$$|f(x) - f(y)| \le k \cdot |x - y|$$

En d'autres termes :

Une fonction est une contraction si elle réduit la distance entre n'importe quelle paire de points de l'espace métrique par un facteur constant strictement inférieur à 1. Imaginez que l'espace métrique est une surface élastique. Une contraction serait comme appliquer une force qui rétrécit uniformément toutes les distances sur cette surface.

Points clés de la définition :

• Espace métrique $(M, d)$ : La fonction est définie sur un ensemble $M$ où une notion de distance $d(x, y)$ entre les éléments est définie et satisfait certaines propriétés (non-négativité, identité des indiscernables, symétrie, inégalité triangulaire).
• Fonction $f: M \rightarrow M$ : La fonction prend un élément de $M$ et le renvoie à un autre élément de $M$.
• Constante de Lipschitz $k$ : C'est un nombre réel fixe entre 0 (inclus) et 1 (exclu) qui quantifie le facteur de contraction.
• Inégalité $d(f(x), f(y)) \le k \cdot d(x, y)$ : Cette inégalité doit être satisfaite pour toute paire de points $x$ et $y$ dans $M$. Elle signifie que l'application $f$ rapproche les images $f(x)$ et $f(y)$ d'au moins un facteur $k$.

Pourquoi la constante $k$ doit-elle être strictement inférieure à 1 ?

Si $k \ge 1$, la fonction ne serait pas nécessairement contractante. Elle pourrait conserver ou même augmenter la distance entre les points. La condition $k < 1$ est cruciale pour le théorème du point fixe de Banach, qui stipule que toute contraction sur un espace métrique complet possède un unique point fixe.

Exemples simples :

• Sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ avec la distance usuelle $d(x, y) = |x - y|$, la fonction $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$ est une contraction avec $k = \frac{1}{2}$, car $|f(x) - f(y)| = |\frac{1}{2}x + 1 - (\frac{1}{2}y + 1)| = |\frac{1}{2}(x - y)| = \frac{1}{2}|x - y|$.
• La fonction $g(x) = 2x$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas une contraction car $|g(x) - g(y)| = |2x - 2y| = 2|x - y|$, et $k = 2 \not< 1$.

En résumé, une fonction de contraction est une transformation qui "rétrécit" l'espace métrique en rapprochant tous les points les uns des autres d'une manière uniformément bornée. Cette propriété est très puissante et a de nombreuses applications en mathématiques, notamment pour prouver l'existence et l'unicité de solutions d'équations.