Oui, je peux t'aider à démontrer que la fonction suivante admet un point fixe unique :

$$f(x) = \left(\frac{1}{\pi}\right)\cdot\arctan\left(\exp\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\right) + 1$$

1. Définition d’un point fixe

Un point fixe d'une fonction $f$ est une valeur $x$ telle que :

$$f(x) = x$$

Nous cherchons donc à résoudre l’équation :

$$\left(\frac{1}{\pi}\right)\cdot\arctan\left(\exp\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)\right) + 1 = x$$

2. Domaine de la fonction

La fonction contient un terme $\frac{1}{x^2}$, donc elle est définie sur :

$$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$

3. Analyse qualitative de $f(x)$

a. Positivité de l’intérieur

Pour $x \neq 0$, on a $\frac{1}{x^2} > 0$, donc :

• $\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) \in (0, 1)$
• Et donc $\arctan(\exp(-1/x^2)) \in \left(0, \arctan(1)\right) = \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$

Ainsi :
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \text{quelque chose dans } (0, \frac{\pi}{4}) + 1 \Rightarrow f(x) \in \left(1, 1 + \frac{1}{4}\right) = \left(1, \frac{5}{4}\right)$$

Donc toute image de $f$ est dans $(1, 1.25)$.

b. Limites aux bornes

• Lorsque $x \to 0^+$ ou $x \to 0^-$ :
  $\frac{1}{x^2} \to +\infty \Rightarrow \exp(-1/x^2) \to 0 \Rightarrow \arctan(\cdot) \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1$

• Lorsque $x \to \pm\infty$, alors $\frac{1}{x^2} \to 0$, donc :
  $\exp(-1/x^2) \to 1 \Rightarrow \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \Rightarrow f(x) \to 1 + \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 1.25$

4. Montrons que $f$ admet un point fixe unique

a. Fonction continue et strictement croissante

Définissons $f(x)$ sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, et étudions sa dérivée.

$$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left( \exp\left(-\frac{1}{x^2} \right) \right) + 1$$

Posons :
$$u(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2} \right)$$

Puis :
$$f'(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1 + u(x)^2} \cdot u'(x)$$

Et :
$$u'(x) = \exp\left(-\frac{1}{x^2} \right) \cdot \left( \frac{2}{x^3} \right) = u(x) \cdot \frac{2}{x^3}$$

Donc :
$$f'(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1 + u(x)^2} \cdot u(x) \cdot \frac{2}{x^3}$$

Le signe de $f'(x)$ dépend de $\frac{2}{x^3}$. Donc :

• Pour $x > 0$, $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ croissante sur $(0, +\infty)$
• Pour $x < 0$, $f'(x) < 0 \Rightarrow f$ décroissante sur $(-\infty, 0)$

Mais comme $f(x) \in (1, 1.25)$ pour $x \ne 0$, le seul endroit possible pour un point fixe est sur $(1, 1.25)$.

b. Définissons la fonction $g(x) = f(x) - x$

On veut résoudre $g(x) = 0$

• $g(x) = f(x) - x$
• $g$ est continue sur $(0, +\infty)$
• Calculons $g(1) = f(1) - 1 > 0$ (car $ f(1) > 1 $)
• $g(1.25) = f(1.25) - 1.25 < 0$ (car $ f(1.25) < 1.25 $)

Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique point fixe dans $(1, 1.25)$.

Conclusion

La fonction
$$f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left( \exp\left( -\frac{1}{x^2} \right) \right) + 1$$
admet un point fixe unique situé dans l'intervalle $(1, 1.25)$, et il n’y en a pas d’autre, car :

• $f(x) \in (1, 1.25)$
• $f$ est strictement monotone sur chaque intervalle
• $f(x) - x$ change de signe une seule fois

Si tu veux, on peut l'approximer numériquement ensuite.