Le théorème des accroissements finis (souvent abrégé en T.A.F.) est un résultat fondamental de l’analyse réelle. Il relie la dérivée d’une fonction à la variation de la fonction sur un intervalle. Voici l'énoncé classique du théorème :

Théorème des accroissements finis (T.A.F.)

Soit $f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction telle que :

1. $f$ est continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$,
2. $f$ est dérivable sur l’intervalle ouvert $(a, b)$.

Alors, il existe un réel $c \in (a, b)$ tel que :

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Interprétation

Le TAF dit qu’à un moment entre $a$ et $b$, la pente de la tangente (la dérivée) est égale à la pente de la droite sécante qui relie $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$. Autrement dit :

Il existe un instant où la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne.

Exemple

Soit $f(x) = x^2$, sur $[1, 3]$ :

• $f(1) = 1$, $f(3) = 9$
• Pente de la sécante : $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$

On cherche $c \in (1, 3)$ tel que $f'(c) = 4$

• $f'(x) = 2x \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \in (1, 3)$

Donc, le théorème est vérifié sur cet exemple.