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Comment montrer qu’une fonction est dérivable à droite de 0 avec le théorème des accroissements finis ?
alphonsio

Pour montrer qu'une fonction ff est dérivable à droite en 0 en utilisant le théorème des accroissements finis, il faut montrer que la limite suivante existe et est finie :

lim⁡h→0+f(h)−f(0)h\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}

Idée du théorème des accroissements finis (TAF) :

Le théorème des accroissements finis affirme que si une fonction ff est :

  • continue sur un intervalle fermé [a,b][a, b],
  • dérivable sur l’intervalle ouvert (a,b)(a, b),

alors il existe un réel c∈(a,b)c \in (a, b) tel que :

f(b)−f(a)b−a=f′(c)\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

Application pour démontrer la dérivabilité à droite en 0 :

Prenons un réel h>0h > 0 et considérons l’intervalle [0,h][0, h]. Supposons que :

  1. ff est continue sur [0,h][0, h],
  2. ff est dérivable sur (0,h)(0, h).

Alors, le TAF garantit l’existence d’un point ch∈(0,h)c_h \in (0, h) tel que :

f(h)−f(0)h=f′(ch)\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(c_h)

Ce qui donne :

lim⁡h→0+f(h)−f(0)h=lim⁡h→0+f′(ch)\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} f'(c_h)

Or, lorsque h→0+h \to 0^+, on a ch→0+c_h \to 0^+ également.

Conclusion :

Si l’on peut montrer que la dérivée f′(x)f'(x) admet une limite finie lorsque x→0+x \to 0^+, alors cette limite est la dérivée à droite de ff en 0 :

lim⁡h→0+f(h)−f(0)h=lim⁡x→0+f′(x)\lim_{h \to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{x \to 0^+} f'(x)

et la fonction est dérivable à droite en 0.