• La courbe rouge est $\arccos(x)$
• La courbe bleue est sa dérivée

Pour démontrer que la dérivée de la fonction $\arccos(x)$ sur l’intervalle $]-1, 1[$ est :

$$\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},$$

on peut procéder de plusieurs manières. Voici une démonstration classique en utilisant le fait que $\arccos(x)$ est la fonction réciproque de $\cos(\theta)$ sur l’intervalle $[0, \pi]$.

Étapes de la démonstration :

1. Départ de la définition :

Posons :
$$y = \arccos(x)$$
Cela signifie :
$$\cos(y) = x \quad \text{avec} \quad y \in [0, \pi]$$

2. Dérivation implicite :

On dérive les deux membres de l’égalité $\cos(y) = x$ par rapport à $x$ en utilisant la dérivation implicite.

$$\frac{d}{dx} \cos(y) = \frac{d}{dx} x$$

Mais $\cos(y)$ est une fonction composée : on a besoin de la dérivée de $\cos(y(x))$. Donc :

$$\frac{d}{dx} \cos(y) = -\sin(y) \cdot \frac{dy}{dx}$$

et

$$\frac{d}{dx} x = 1$$

Donc on a :

$$-\sin(y) \cdot \frac{dy}{dx} = 1$$

3. Isolement de $\frac{dy}{dx}$ :

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin(y)}$$

4. Expression de $\sin(y)$ en fonction de $x$ :

Rappel : $\cos(y) = x$, donc on utilise l’identité trigonométrique :

$$\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1 \Rightarrow \sin^2(y) = 1 - x^2 \Rightarrow \sin(y) = \sqrt{1 - x^2}$$

(Remarque : sur $y \in [0, \pi]$, $\sin(y) \geq 0$, donc on prend la racine positive.)

5. Substitution dans la dérivée :

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Mais $y = \arccos(x)$, donc :

$$\frac{d}{dx} \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$