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Comment passer de 4/(e**x+e**-x)**2 à 1-(th(x))**2 ?
alphonsio

Méthode 1

Pour passer de l'expression

4(ex+e−x)2\frac{4}{\left(e^x + e^{-x}\right)^2}

à

1−tanh⁡2(x)1 - \tanh^2(x)

on doit utiliser des identités liées aux fonctions hyperboliques. Voici les étapes détaillées :

Étape 1 : Reconnaître une identité connue

On sait que :

tanh⁡2(x)+sech2(x)=1ou encore1−tanh⁡2(x)=sech2(x)\tanh^2(x) + \text{sech}^2(x) = 1 \quad \text{ou encore} \quad 1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)

où :

sech(x)=1cosh⁡(x)\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}

Donc :

1−tanh⁡2(x)=1cosh⁡2(x)1 - \tanh^2(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}

Étape 2 : Relier à l'expression de départ

Rappelons la définition de cosh⁡(x)\cosh(x) :

cosh⁡(x)=ex+e−x2⇒cosh⁡2(x)=(ex+e−x2)2=(ex+e−x)24\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \Rightarrow \cosh^2(x) = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x + e^{-x})^2}{4}

Donc :

1cosh⁡2(x)=4(ex+e−x)2\frac{1}{\cosh^2(x)} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}

Conclusion

4(ex+e−x)2=1cosh⁡2(x)=1−tanh⁡2(x)\frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{1}{\cosh^2(x)} = 1 - \tanh^2(x)

✅ Donc, on a bien :

4(ex+e−x)2=1−tanh⁡2(x)\frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = 1 - \tanh^2(x)

Méthode 2

Pour passer de 4(ex+e−x)2\frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} à 1−tanh⁡2(x)1 - \tanh^2(x), il est utile de se rappeler l'identité hyperbolique fondamentale pour la fonction tanh⁡(x)\tanh(x).

Nous savons que :

tanh⁡(x)=ex−e−xex+e−x.\tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.

Et donc, le carré de tanh⁡(x)\tanh(x) est :

tanh⁡2(x)=(ex−e−xex+e−x)2=(ex−e−x)2(ex+e−x)2.\tanh^2(x) = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\right)^2 = \frac{(e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}.

Calculons (ex−e−x)2(e^x - e^{-x})^2 :

(ex−e−x)2=e2x−2+e−2x.(e^x - e^{-x})^2 = e^{2x} - 2 + e^{-2x}.

Ainsi,

tanh⁡2(x)=e2x−2+e−2x(ex+e−x)2.\tanh^2(x) = \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{(e^x + e^{-x})^2}.

Maintenant, notez que :

(ex+e−x)2=e2x+2+e−2x.(e^x + e^{-x})^2 = e^{2x} + 2 + e^{-2x}.

En soustrayant tanh⁡2(x)\tanh^2(x) de 1, nous avons :

1−tanh⁡2(x)=1−e2x−2+e−2xe2x+2+e−2x.1 - \tanh^2(x) = 1 - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}.

Puisque 1=e2x+2+e−2xe2x+2+e−2x1 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}, on obtient :

1−tanh⁡2(x)=(e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)e2x+2+e−2x.1 - \tanh^2(x) = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}.

Simplification :

1−tanh⁡2(x)=4e2x+2+e−2x.1 - \tanh^2(x) = \frac{4}{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}.

Le dénominateur est exactement (ex+e−x)2(e^x + e^{-x})^2, donc :

1−tanh⁡2(x)=4(ex+e−x)2.1 - \tanh^2(x) = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}.

C'est ainsi que nous sommes passés de 4(ex+e−x)2\frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} à 1−tanh⁡2(x)1 - \tanh^2(x).