Voici la forme linéarisée de $\sin^3(x)$ :

$$\sin^3(x) = \frac{3}{4}\sin(x) - \frac{1}{4}\sin(3x)$$

Pour linéariser $\sin^3(x)$, on utilise les formules de réduction de puissance en trigonométrie. Voici la démarche :

Étape 1 : Exprimer $\sin^3(x)$ en fonction de $\sin(x)$ et $\sin(3x)$

On utilise la formule de réduction de puissance :
$$\sin^3(x) = \frac{3\sin(x) - \sin(3x)}{4}$$

Démonstration :

On utilise l'identité trigonométrique :
$$\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)$$
On isole $\sin^3(x)$ :
$$\sin^3(x) = \frac{3\sin(x) - \sin(3x)}{4}$$

Ainsi, $\sin^3(x)$ est linéarisé en une somme de termes de la forme $\sin(x)$ et $\sin(3x)$, qui sont des fonctions de première puissance.

On peut également linéariser $\sin^3(x)$ en utilisant la notation exponentielle. On commence par exprimer $\sin(x)$ sous forme exponentielle :

$$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

Étape 1 : Exprimer $\sin^3(x)$

On élève au cube :

$$\sin^3(x) = \left( \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \right)^3$$

Développons le cube :

$$\sin^3(x) = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^3}{(2i)^3}$$

Étape 2 : Développement du numérateur

En utilisant l’identité $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, avec $a = e^{ix}$ et $b = e^{-ix}$, on obtient :

$$(e^{ix} - e^{-ix})^3 = e^{3ix} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-3ix}$$

Étape 3 : Diviser par $(2i)^3 = -8i$

$$\sin^3(x) = \frac{e^{3ix} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-3ix}}{-8i}$$

En simplifiant :

$$\sin^3(x) = \frac{3(e^{ix} - e^{-ix}) - (e^{3ix} - e^{-3ix})}{8i}$$

Or, on reconnaît que :

$$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \quad \sin(3x) = \frac{e^{3ix} - e^{-3ix}}{2i}$$

Donc :

$$\sin^3(x) = \frac{3 \cdot 2i \sin(x) - 2i \sin(3x)}{8i}$$

$$\sin^3(x) = \frac{3\sin(x) - \sin(3x)}{4}$$

On retrouve la même formule que précédemment ! Cette méthode montre clairement la décomposition en termes exponentiels.