La dérivée de la fonction $f(x) = 2 \sqrt{x} \ln(x)$ est :

$$\boxed{f'(x) = \frac{\ln(x) + 2}{\sqrt{x}}}$$

On souhaite dériver la fonction :

Étape 1 : Réécriture

On écrit $\sqrt{x} = x^{1/2}$, donc :

Étape 2 : Utiliser la règle du produit

Soit $u(x) = x^{1/2}$ et $v(x) = \ln(x)$, alors :

Calcul des dérivées :

• $u'(x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $v'(x) = \frac{1}{x}$

Donc :

$$f'(x) = 2 \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln(x) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \right)$$

Étape 3 : Simplification

$$f'(x) = \frac{2 \ln(x)}{2\sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{x}$$

$$f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$

✅ Réponse finale :

En conclusion, la dérivée de la fonction $f(x) = 2 \sqrt{x} \ln(x)$ est donc donnée par :

$$\boxed{f'(x) = \frac{\ln(x) + 2}{\sqrt{x}}}$$