La dérivée de la fonction $f(x) = 2\ln(x) - 5\sqrt{x}$ est :

$$f'(x) = \frac{2}{x} - \frac{5}{2\sqrt{x}}.$$

Pour trouver la dérivée de la fonction $f(x) = 2\ln(x) - 5\sqrt{x}$, nous devons calculer les dérivées des deux termes séparément.

1. La dérivée de $2\ln(x)$ :

• La dérivée de $\ln(x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$.
• Donc, la dérivée de $2\ln(x)$ est $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

2. La dérivée de $-5\sqrt{x}$ :

• La racine carrée de $x$ peut être écrite comme $x^{1/2}$.
• La dérivée de $x^{1/2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.
• Donc, la dérivée de $-5\sqrt{x}$ est $-5 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{5}{2}x^{-1/2}$.

Réponse finale

En combinant ces résultats, la dérivée de la fonction $f(x)$ est :

$$\boxed {f'(x) = \frac{2}{x} - \frac{5}{2\sqrt{x}}}$$