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Est-ce que |b-a| = |a-b| (a<b)
alphonsio

L'égalité |b - a| = |a - b| est toujours vraie.

L'égalité ∣b−a∣=∣a−b∣∣b−a∣=∣a−b∣ est toujours vraie, quel que soit l'ordre de aa et bb.

Pourquoi ?

La valeur absolue ∣x∣|x| est définie comme :

∣x∣={xsi x≥0−xsi x<0|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Donc :

  • Si a<ba < b, alors b−a>0b - a > 0 et a−b<0a - b < 0

  • Donc :

    ∣b−a∣=b−a,∣a−b∣=−(a−b)=b−a⇒∣b−a∣=∣a−b∣|b - a| = b - a, \quad |a - b| = -(a - b) = b - a \Rightarrow |b - a| = |a - b|

Exemple :

Prenons a=2a = 2, b=5b = 5

  • ∣b−a∣=∣5−2∣=3|b - a| = |5 - 2| = 3
  • ∣a−b∣=∣2−5∣=∣−3∣=3|a - b| = |2 - 5| = |-3| = 3

✅ Donc bien égaux.

En résumé :

∣b−a∣=∣a−b∣toujours, meˆme si a<b|b - a| = |a - b| \quad \text{toujours, même si } a < b

C’est parce que la valeur absolue mesure la distance entre aa et bb, sans se soucier de l’ordre.