Voici le résultat de la somme pour tout $N$ :

$$\sum_{k=2}^{N} k (k-1) p^{k-2} = \frac{2}{(1-p)^3} - \frac{(N+1)N p^{N-1} - 2 N p^N + N(N+1) p^{N+1}}{(1-p)^3}.$$

Nous devons calculer la somme suivante :

$$S = \sum_{k=2}^{N} k (k-1) p^{k-2}$$

en utilisant la fonction $f_N(p)$ définie comme :

$$f_N(p) = \sum_{k=0}^{N} p^k$$

qui est la somme des puissances de $p$ jusqu'à $N$.

Principe

L'idée clé est que chaque fois que l'on dérive $f_N(p)$, on "fait descendre" l'exposant de $p^k$, ce qui permet d'obtenir des termes de la forme $k p^{k-1}$, puis $k (k-1) p^{k-2}$, etc.

• Première dérivation :

  • Quand on dérive $f_N(p)$, chaque terme $p^k$ devient $k p^{k-1}$.
  • Cela nous donne une somme où chaque terme est multiplié par son indice $k$, ce qui nous rapproche de la forme voulue.

• Deuxième dérivation :

  • En dérivant encore une fois, chaque terme $k p^{k-1}$ devient $k (k-1) p^{k-2}$.
  • Cette expression correspond exactement à la somme que nous cherchons !

Étape 1 : Expression de $f_N(p)$

La somme des puissances d'une suite géométrique est donnée par :

$$f_N(p) = \frac{1 - p^{N+1}}{1 - p}, \quad \text{pour } p \neq 1.$$

Étape 2 : Dérivation pour obtenir la somme souhaitée

Nous avons besoin de la somme pondérée $S$. On utilise la dérivation pour obtenir une somme de la forme $\sum k p^{k-2}$.

Première dérivation de $f_N(p)$

$$f'_N(p) = \sum_{k=1}^{N} k p^{k-1} = \frac{1 - (N+1)p^N + N p^{N+1}}{(1 - p)^2}.$$

Deuxième dérivation de $f_N(p)$

$$f''_N(p) = \sum_{k=2}^{N} k (k-1) p^{k-2} = \frac{2}{(1-p)^3} - \frac{(N+1)N p^{N-1} - 2 N p^N + N(N+1) p^{N+1}}{(1-p)^3}.$$

Conclusion

La somme cherchée est directement obtenue par :

$$S = f''_N(p).$$

On peut donc la calculer via la seconde dérivée de la somme géométrique $f_N(p)$ ce qui nous donne :

$$\sum_{k=2}^{N} k (k-1) p^{k-2} = \frac{2}{(1-p)^3} - \frac{(N+1)N p^{N-1} - 2 N p^N + N(N+1) p^{N+1}}{(1-p)^3}.$$