Les solutions de l'équation $f(x) = \frac{x}{2} (x^2 - 3x + 4)$ avec $f(x) = x$ sont :

$$\boxed{0, 1, 2}$$

L'équation donnée est :

$$f(x) = x$$

avec :

$$f(x) = \frac{x}{2} (x^2 - 3x + 4)$$

1. Équation à résoudre :

$$\frac{x}{2} (x^2 - 3x + 4) = x$$

2. Mise sous forme canonique :

Passons tout du même côté :

$$\frac{x}{2} (x^2 - 3x + 4) - x = 0$$

Factorisons $x$ à droite :

$$x \left( \frac{x^2 - 3x + 4}{2} - 1 \right) = 0$$

3. Résolution des solutions :

• Première solution évidente :
  $x = 0$ est une solution triviale.

• Deuxième équation à résoudre :
  $$\frac{x^2 - 3x + 4}{2} - 1 = 0$$

Multiplions par 2 :

$$x^2 - 3x + 4 - 2 = 0$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Nous allons la résoudre en utilisant la méthode du discriminant.

Identifier les coefficients

Comparons avec l'équation standard $ax^2 + bx + c = 0$ :

• $a = 1$
• $b = -3$
• $c = 2$

Calcul du discriminant

Le discriminant est donné par la formule :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Substituons les valeurs :

$$\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2)$$

$$\Delta = 9 - 8 = 1$$

Calcul des racines

Les solutions sont données par la formule :

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Substituons :

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(1)}$$

$$x = \frac{3 \pm 1}{2}$$

Trouvons les valeurs de $x$

• $x_1 = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
• $x_2 = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

4. Conclusion :

Les solutions de l'équation sont :

$$\boxed{0, 1, 2}$$