$\frac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $0$. Par conséquent, la fonction sinus oscille continuellement entre -1 \et +1 sans se stabiliser vers une valeur fixe. Ainsi, $f(x) = \sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$.

Pour montrer que la fonction $f(x) = \sin(1/x)$ n'a pas de limite en $0$, examinons son comportement lorsque $x \to 0$.

1. Définition de la limite

La fonction $f(x)$ aurait une limite $L$ en $0$ si :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } 0 < |x| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon.$$

Autrement dit, plus $x$ est proche de $0$, plus $\sin(1/x)$ doit être proche d'une valeur fixe $L$.

2. Étude du comportement de $f(x)$ lorsque $x \to 0$

• Lorsque $x$ tend vers $0^+$ ou $0^-$, le terme $1/x$ devient très grand en valeur absolue.
• L'argument $1/x$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathbb{R}$, en particulier une infinité de valeurs de la forme $k\pi$ et $(2k+1)\pi/2$, où $k$ est un entier.
• Or, on sait que :
  $$\sin(k\pi) = 0, \quad \sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right) = \pm 1.$$
  Cela signifie que $f(x)$ oscille constamment entre $-1$ et $1$ sans se stabiliser vers une valeur unique.

3. Conséquence : Absence de limite

Puisque $\sin(1/x)$ prend des valeurs oscillantes entre $-1$ et $1$ de manière arbitrairement proche de $0$, il n'existe aucune valeur unique $L$ telle que $\sin(1/x)$ s'en approche pour $x \to 0$.

Conclusion : $f(x)$ n'a pas de limite en $0$.