La matrice des mineurs d'une matrice $3 \times 3$ est obtenue en calculant le déterminant de chaque mineur d'ordre $2 \times 2$ associé à chaque élément de la matrice.

Pour la matrice $\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$, ma matrice des mineurs est donnée par $\begin{bmatrix} ei - fh & di - fg & dh - eg \\ bi - ch & ai - cg & ah - bg \\ bf - ce & af - cd & ae - bd \end{bmatrix}$

Étapes pour calculer la matrice des mineurs :

Soit une matrice $A$ de taille $3 \times 3$ :

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Calcul des mineurs

Le mineur $M_{ij}$ est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la $i\text{-ème}$ ligne et la $j\text{-ième}$ colonne.

• Pour $M_{11}$ (mineur de $a$ ) :
  $$M_{11} = \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} = ei - fh$$

• Pour $M_{12}$ (mineur de $b$ ) :
  $$M_{12} = \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} = di - fg$$

• Pour $M_{13}$ (mineur de $c$ ) :
  $$M_{13} = \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix} = dh - eg$$

• Pour $M_{21}$ (mineur de $d$ ) :
  $$M_{21} = \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} = bi - ch$$

• Pour $M_{22}$ (mineur de $e$ ) :
  $$M_{22} = \begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} = ai - cg$$

• Pour $M_{23}$ (mineur de $f$ ) :
  $$M_{23} = \begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} = ah - bg$$

• Pour $M_{31}$ (mineur de $g$ ) :
  $$M_{31} = \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} = bf - ce$$

• Pour $M_{32}$ (mineur de $h$ ) :
  $$M_{32} = \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} = af - cd$$

• Pour $M_{33}$ (mineur de $i$ ) :
  $$M_{33} = \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} = ae - bd$$

Matrice des mineurs

$$M = \begin{bmatrix} ei - fh & di - fg & dh - eg \\ bi - ch & ai - cg & ah - bg \\ bf - ce & af - cd & ae - bd \end{bmatrix}$$

Cette matrice est essentielle pour calculer la matrice des cofacteurs et l’inverse d’une matrice $3 \times 3$.

Exemple

Considérons la matrice :

$$A = \begin{bmatrix} -9 & -8 & 3 \\ 0 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}$$

1. Calcul des mineurs

Première ligne :

$$M_{11} = \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (6 \times 0) - (2 \times 2) = 0 - 4 = -4$$
$$M_{12} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \times 0) - (2 \times 1) = 0 - 2 = -2$$
$$M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 \times 2) - (6 \times 1) = 0 - 6 = -6$$

Deuxième ligne :

$$M_{21} = \begin{vmatrix} -8 & 3 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-8 \times 0) - (3 \times 2) = 0 - 6 = -6$$
$$M_{22} = \begin{vmatrix} -9 & 3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-9 \times 0) - (3 \times 1) = 0 - 3 = -3$$
$$M_{23} = \begin{vmatrix} -9 & -8 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-9 \times 2) - (-8 \times 1) = -18 + 8 = -10$$

Troisième ligne :

$$M_{31} = \begin{vmatrix} -8 & 3 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = (-8 \times 2) - (3 \times 6) = -16 - 18 = -34$$
$$M_{32} = \begin{vmatrix} -9 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (-9 \times 2) - (3 \times 0) = -18 - 0 = -18$$
$$M_{33} = \begin{vmatrix} -9 & -8 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} = (-9 \times 6) - (-8 \times 0) = -54 + 0 = -54$$

2. Matrice des mineurs

$$M = \begin{bmatrix} -4 & -2 & -6 \\ -6 & -3 & -10 \\ -34 & -18 & -54 \end{bmatrix}$$