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Racines du polynôme -1+x+x**2
alphonsio

Les racines du polynôme −1+x+x2-1 + x + x^2 sont :

x1=−1+52≈0.618x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618
x2=−1−52≈−1.618x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618

Le polynôme donné est :
P(x)=−1+x+x2P(x) = -1 + x + x^2

C'est une équation quadratique de la forme ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, où

  • a=1a = 1,
  • b=1b = 1,
  • c=−1c = -1.

On peut le réécrire sous une forme standard :
P(x)=x2+x−1P(x) = x^2 + x - 1

Les racines de ce polynôme sont données par la formule du discriminant :
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

En substituant les valeurs de aa, bb, et cc dans la formule, nous avons :

x=−1±12−4×1×(−1)2×1x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1}
x=−1±1+42x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}
x=−1±52x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Ainsi, les racines du polynôme sont :

x1=−1+52x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}
x2=−1−52x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}

x1≈0.618x_1 \approx 0.618
x2≈−1.618x_2 \approx -1.618

Ces valeurs correspondent au nombre d'or φ\varphi et son opposé −φ-\varphi.