user
Donne moi les racines réelles alpha et beta du polynôme X(x-1/X+1)
alphonsio

Les racines du polynome x(x−1x+1)x\left(x - \frac{1}{x} + 1\right) sont :

α=−1−52,β=−1+52\alpha = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad \beta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}

On commence par développer le polynôme donné :

P(x)=x(x−1x+1)P(x) = x\left(x - \frac{1}{x} + 1\right)

Développons cette expression :

P(x)=x⋅x−x⋅1x+x=x2−1+xP(x) = x \cdot x - x \cdot \frac{1}{x} + x = x^2 - 1 + x

Donc le polynôme devient :

P(x)=x2+x−1P(x) = x^2 + x - 1

Étape suivante : Résolution de l'équation x2+x−1=0x^2 + x - 1 = 0

On utilise la formule quadratique :

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Ici, a=1a = 1, b=1b = 1, c=−1c = -1

x=−1±12−4(1)(−1)2(1)=−1±1+42=−1±52x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}

Résultat final :

Les racines réelles sont :

α=−1−52,β=−1+52\alpha = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad \beta = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}