On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés. Pour chaque dé pipé, la probabilité d'obtenir le chiffre 6 lors d'un lancer vaut 1/2. On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé, et on obtient le chiffre 6. Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé?

La probabilité que le dé soit pipé quand on a obtenu un 6 est de $\frac{1}{2}$ :

$P(pipé \mid 6) = \frac{1}{2}$

Pour résoudre ce problème, nous allons utiliser le théorème de Bayes.

Notons les événements suivants :

$A$ : le dé est pipé.
$B$ : le résultat du lancer est un 6.

Nous voulons trouver $P(A \mid B)$ , c'est-à-dire la probabilité que le dé soit pipé étant donné que le lancer a donné un 6.

Selon le théorème de Bayes :

$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}$

Calcul des probabilités

Nous devons d'abord déterminer les probabilités suivantes :

$P(A)$ : la probabilité de tirer un dé pipé. Comme il y a 25 dés pipés sur 100 dés au total, nous avons :
$P(A) = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
$P(B \mid A)$ : la probabilité d'obtenir un 6 sachant que le dé est pipé. Comme cette probabilité est donnée, nous avons :
$P(B \mid A) = \frac{1}{2}$
$P(B \mid \neg A)$ : la probabilité d'obtenir un 6 sachant que le dé n'est pas pipé. Pour un dé normal, cette probabilité est :
$P(B \mid \neg A) = \frac{1}{6}$
$P(\neg A)$ : la probabilité de tirer un dé non pipé. Il y a 75 dés non pipés, donc :
$P(\neg A) = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Maintenant, nous calculons $P(B)$ , la probabilité d'obtenir un 6, en utilisant la loi des probabilités totales :
$P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)$
$P(B) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{6} \times \frac{3}{4}\right)$
$P(B) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$

Appliquer Bayes

Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Bayes pour trouver $P(A \mid B)$ :
$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{4}\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Ainsi, la probabilité que le dé soit pipé, étant donné que le lancer a donné un 6, est $\frac{1}{2}$ .

Résultat final :

$\boxed{P(pipé \mid 6) = \frac{1}{2}}$

Donc, même si les dés pipés sont en minorité (1/4 des dés), le fait qu’on ait obtenu un 6 augmente fortement la probabilité que le dé soit pipé : elle passe à 1 chance sur 2.