Pour démontrer la formule de la probabilité de l'union de deux événements, soit $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé, nous devons montrer que :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

1. Décomposition de $A \cup B$

L'événement $A \cup B$ représente tous les cas où $A$ ou $B$ (ou les deux) se réalisent. En décomposant $A \cup B$, on observe que :

$$A \cup B = A + B - (A \cap B)$$

Cela signifie que si on additionne $P(A)$ et $P(B)$, on compte deux fois les cas où $A$ et $B$ se réalisent simultanément, c'est-à-dire $P(A \cap B)$. Il faut donc les soustraire une fois.

2. Calcul des probabilités

Puisque $A \cup B$ est la réunion de $A$ et $B$, nous avons :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

L'idée principale est que lorsque l'on additionne $P(A)$ et $P(B)$, on compte les cas de $A \cap B$ deux fois, donc il faut les soustraire une fois pour éviter le double comptage.

3. Conclusion

Nous avons ainsi démontré la formule de la probabilité de l'union :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Cette formule est essentielle en théorie des probabilités pour éviter le double comptage lors du calcul de l'union de deux événements.

4. Exemple

Prenons un exemple simple avec un dé à 6 faces.

Soit les événements suivants :

• $A$ : obtenir un nombre pair → $A = \{2, 4, 6\}$
• $B$ : obtenir un nombre supérieur à 3 → $B = \{4, 5, 6\}$

Nous voulons calculer $P(A \cup B)$, c'est-à-dire la probabilité d'obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur à 3.

1. Calcul des probabilités individuelles

   • Il y a 3 nombres pairs parmi 6 : $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
   • Il y a 3 nombres supérieurs à 3 parmi 6 : $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

2. Calcul de $P(A \cap B)$

   • L'intersection $A \cap B$ correspond aux nombres qui sont à la fois pairs et supérieurs à 3, soit $\{4,6\}$.
   • Il y a 2 cas favorables sur 6 : $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

3. Application de la formule

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

$$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$$

$$P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

Conclusion :

La probabilité d'obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur à 3 en lançant un dé est $\frac{2}{3}$.