user
Comment calculer le déterminant d'une matrice 3x3 ?
alphonsio

Si la matrice est :

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Le déterminant est :

det⁡(A)=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

Il existe deux méthodes courantes permettant de calculer le déterminant d'une matrice 3x3.

Méthode de Sarrus :

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Développement par une ligne ou une colonne :

det⁡(A)=a∣efhi∣−b∣dfgi∣+c∣degh∣\det(A) = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

Les deux méthodes conduisent au même résultat.

Le déterminant d'une matrice 3×33 \times 3 se calcule en appliquant la règle de Sarrus ou en développant selon une ligne ou une colonne.

1. Règle de Sarrus

Illustration de la régle de Sarrus pour le calcul du déterminant d'une matrice 3x3

Si la matrice est :

A=[abcdefghi]A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Le déterminant est donné par :

det⁡(A)=aei+bfg+cdh−ceg−afh−bdi\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

Autrement dit :

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Exemple

Prenons la matrice suivante :

A=[−9−83062120]A = \begin{bmatrix} -9 & -8 & 3 \\ 0 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}

Appliquons la règle de Sarrus :

Exemple d'application du calcul du déterminant avec la règle de Sarrus sur une matrice 3x3

det⁡(A)=(−9×6×0)+(−8×2×1)+(3×0×2)−(3×6×1)−(−9×2×2)−(−8×0×0)\det(A) = (-9 \times 6 \times 0) + (-8 \times 2 \times 1) + (3 \times 0 \times 2) - (3 \times 6 \times 1) - (-9 \times 2 \times 2) - (-8 \times 0 \times 0)

Effectuons les calculs :

det⁡(A)=(0)+(−16)+(0)−(18)−(−36)−(0)\det(A) = (0) + (-16) + (0) - (18) - (-36) - (0)

det⁡(A)=−16−18+36\det(A) = -16 - 18 + 36

det⁡(A)=2\det(A) = 2

Donc, le déterminant de la matrice est 2.

2. Développement par une ligne ou une colonne

On peut aussi développer le déterminant en fonction d’une ligne ou d’une colonne. Par exemple, en développant selon la première ligne :

Calcul du déterminant d'une matrice 3x3

det⁡(A)=a∣efhi∣−b∣dfgi∣+c∣degh∣\det(A) = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

Chaque déterminant 2×22 \times 2 est calculé par :

∣xyzw∣=xw−yz\begin{vmatrix} x & y \\ z & w \end{vmatrix} = xw - yz

Ainsi :

det⁡(A)=a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Exemple

Considérons la même matrice :

A=[−9−83062120]A = \begin{bmatrix} -9 & -8 & 3 \\ 0 & 6 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}

en développant selon la première ligne :

det⁡(A)=a∣efhi∣−b∣dfgi∣+c∣degh∣\det(A) = a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\ g & h \end{vmatrix}

Exemple du calcul du déterminant d'une matrice 3x3

det⁡(A)=−9∣6220∣−(−8)∣0210∣+3∣0612∣\det(A) = -9 \begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - (-8) \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}

Avec les valeurs de AA :

  • a=−9a = -9, b=−8b = -8, c=3c = 3
  • e=6e = 6, f=2f = 2, h=2h = 2, i=0i = 0
  • d=0d = 0, g=1g = 1

On calcule les déterminants des sous-matrices 2×22 \times 2 :

∣6220∣=(6×0−2×2)=0−4=−4\begin{vmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (6 \times 0 - 2 \times 2) = 0 - 4 = -4

∣0210∣=(0×0−2×1)=0−2=−2\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \times 0 - 2 \times 1) = 0 - 2 = -2

∣0612∣=(0×2−6×1)=0−6=−6\begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 \times 2 - 6 \times 1) = 0 - 6 = -6

On remplace dans la formule :

det⁡(A)=(−9×−4)−(−8×−2)+(3×−6)\det(A) = (-9 \times -4) - (-8 \times -2) + (3 \times -6)

det⁡(A)=36−16−18\det(A) = 36 - 16 - 18

det⁡(A)=2\det(A) = 2

Conclusion : Le déterminant est 2, comme précédemment.