La probabilité que tous les couples reconstitués correspondent aux couples initiaux est :

$$P = \frac{1}{n!}$$

On cherche la probabilité que, après une séparation et un remariage aléatoire de $n$ couples initialement formés, tous les couples se reforment exactement comme avant.

Modélisation du problème

1. Initialement, nous avons $n$ couples, soit $n$ hommes et $n$ femmes.
2. Après la première danse, les partenaires sont séparés.
3. Lors de la deuxième danse, les couples sont reformés de manière totalement aléatoire.

Calcul de la probabilité

La question revient à trouver la probabilité que, dans une permutation aléatoire des $n$ femmes, chaque femme retrouve son partenaire initial.

• Il y a $n!$ façons de redistribuer les $n$ femmes aux $n$ hommes.
• Une seule de ces permutations correspond exactement à la configuration initiale.

Ainsi, la probabilité que tous les couples se reforment exactement comme avant est :

$$P = \frac{1}{n!}$$

Exemple

Prenons l'exemple de 3 couples composés de danseurs A, B et C qui étaient respectivement avec les danseuses A, B et C.

1. Lorsque les couples sont reformés, le danseur A peut danser avec les danseuses A, B et C. La probabilité qu'il soit à nouveau avec la danseuse A est donc de $\frac{1}{3}$. La généralisation donne $\frac{1}{n}$.
2. Il ne reste que deux danseuses pour le danseur B. La probabilité qu'il soit à nouveau avec la danseuse B est donc $\frac{1}{2}$. La généralisation donne $\frac{1}{n-1}$.
3. Le danseur C n'a plus qu'une danseuse, la probabilité est nécessaisement de $\frac{1}{1}$

La probabilité pour que tous les trois couples se reforment de la même façon est donc de :

$$P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{6}$$

La généralisation nous donne bien :

$$P = \frac{1}{n} \times \frac{1}{n-1} \times \frac{1}{n-2} ... \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{n!}$$

Interprétation

• Pour $n = 1$, la probabilité est $1/1 = 1$ (trivial).
• Pour $n = 2$, la probabilité est $1/2 = 0.5$.
• Pour $n = 3$, la probabilité est $1/6 \approx 0.167$.
• Pour $n = 4$, la probabilité est $1/24 \approx 0.042$.

La probabilité décroît très rapidement avec $n$, rendant cet événement extrêmement rare dès que $n$ devient grand.

Notons enfin que cette probabilité est la même pour les hommes et le femmes puisque ce problème est parfaitement symétrique.