Si $y = f(g(x))$, alors la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est donnée par :

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

La règle de la chaîne est une règle fondamentale en calcul différentiel qui permet de dériver une fonction composée.

Énoncé de la règle de la chaîne

Soit la fonction composée $y = (f \circ g)(x)$, alors la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est donnée par :

$$\frac{d}{dx} (f \circ g(x)) = f'(g(x)) \times g'(x)$$

C'est-à-dire qu'on dérive d'abord la fonction extérieure $f$ en évaluant sa dérivée en $g(x)$, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure $g(x)$.

Exemples d'application

Exponentielle avec fonction intérieure

$$y = e^{3x^2}$$

• Fonction extérieure : $f(x) = e^u$ (avec $u = 3x^2$ )
• Dérivée de $e^u$ : $f'(u)=e^u$
• Fonction intérieure : $g(x) = 3x^2$
• Dérivée de $3x^2$ : $g'(x)6x$

Application de la règle de la chaîne :
$$y' = e^{3x^2} \times 6x$$

Fonction puissance

$$y = (\sin x)^4$$

• Fonction extérieure : $f(x) = u^4$ (avec $u = \sin x$ )
• Dérivée de $u^4$ : $f'(u) = 4u^3$
• Fonction intérieure : $g(x) = \sin x$
• Dérivée de $\sin x$ : $g'(x) = \cos x$

Application de la règle de la chaîne :
$$y' = 4 (\sin x)^3 \cos x$$

La règle de la chaîne est essentielle en calcul différentiel pour traiter les fonctions composées comme $\ln(\cos x)$, $\tan^2(3x)$, $\sqrt{x^2 + 1}$, etc.