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Comment calculer l'intégrale de 0 a 1 de sqrt(1+t**2) dt ?
alphonsio

Le calcul de l'intégrale I=011+t2dtI = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + t^2} \, dt donne :

011+t2dt=2+ln(1+2)2\int_{0}^{1}\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}


Nous allons calculer l'intégrale suivante :

I=011+t2dt.I = \int_{0}^{1} \sqrt{1+t^2}\, dt.

Méthode par changement de variable

On peut effectuer la substitution hyperbolique :
t=sinhu,doncdt=coshudu.t = \sinh u, \quad \text{donc} \quad dt = \cosh u \, du.
On remarque que :
1+t2=1+sinh2u=coshu.\sqrt{1+t^2} = \sqrt{1+\sinh^2 u} = \cosh u.
Ainsi, l'intégrale se transforme en :
I=u(0)u(1)coshucoshudu=u(0)u(1)cosh2udu.I = \int_{u(0)}^{u(1)} \cosh u \cdot \cosh u \, du = \int_{u(0)}^{u(1)} \cosh^2 u \, du.

Détermination des bornes

  • Quand t=0t=0 : 0=sinhuu=00 = \sinh u \Rightarrow u=0.
  • Quand t=1t=1 : 1=sinhuu=sinh1(1)=ln(1+2)1 = \sinh u \Rightarrow u = \sinh^{-1}(1) = \ln(1+\sqrt{2}).

L'intégrale devient donc :
I=0ln(1+2)cosh2udu.I = \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \cosh^2 u\, du.

Calcul de l'intégrale

On utilise l'identité :
cosh2u=1+cosh(2u)2.\cosh^2 u = \frac{1+\cosh(2u)}{2}.
On écrit :
I=0ln(1+2)1+cosh(2u)2du=120ln(1+2)[1+cosh(2u)]du.I = \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \frac{1+\cosh(2u)}{2}\, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \left[1+\cosh(2u)\right] du.

Séparons les intégrales :
I=12{0ln(1+2)1du+0ln(1+2)cosh(2u)du}.I = \frac{1}{2} \left\{ \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} 1\, du + \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \cosh(2u)\, du \right\}.

  1. Pour la première intégrale :
    0ln(1+2)1du=ln(1+2).\int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} 1\, du = \ln(1+\sqrt{2}).

  2. Pour la seconde intégrale, nous avons :
    cosh(2u)du=12sinh(2u).\int \cosh(2u)\, du = \frac{1}{2}\sinh(2u).
    Ainsi,
    0ln(1+2)cosh(2u)du=12sinh(2ln(1+2)).\int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \cosh(2u)\, du = \frac{1}{2}\sinh\bigl(2\ln(1+\sqrt{2})\bigr).

Nous obtenons donc :
I=12[ln(1+2)+12sinh(2ln(1+2))].I = \frac{1}{2} \left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{1}{2}\sinh\bigl(2\ln(1+\sqrt{2})\bigr) \right].

Calcul de sinh(2ln(1+2))\sinh(2\ln(1+\sqrt{2}))

Utilisons la formule :
sinh(2u)=2sinhucoshu.\sinh(2u) = 2\sinh u\, \cosh u.
Ici, avec u=ln(1+2)u=\ln(1+\sqrt{2}), nous avons d'une part :
sinh(ln(1+2))=1,\sinh(\ln(1+\sqrt{2})) = 1,
puisque la fonction inverse hyperbolique satisfait par définition sinh(sinh1(1))=1\sinh(\sinh^{-1}(1)) = 1.

D'autre part, on peut calculer cosh(ln(1+2))\cosh(\ln(1+\sqrt{2})). En effet, pour tout xx nous avons :
cosh(lnx)=x+1x2.\cosh(\ln x) = \frac{x + \frac{1}{x}}{2}.
En posant x=1+2x = 1+\sqrt{2}, on obtient :
cosh(ln(1+2))=(1+2)+11+22.\cosh(\ln(1+\sqrt{2})) = \frac{(1+\sqrt{2}) + \frac{1}{1+\sqrt{2}}}{2}.
Pour simplifier 11+2\frac{1}{1+\sqrt{2}}, multiplions numérateur et dénominateur par 121-\sqrt{2} :
11+2=12(1+2)(12)=1212=21.\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \sqrt{2}-1.
Ainsi,
cosh(ln(1+2))=(1+2)+(21)2=222=2.\cosh(\ln(1+\sqrt{2})) = \frac{(1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1)}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.

On en déduit :
sinh(2ln(1+2))=2sinh(ln(1+2))cosh(ln(1+2))=2×1×2=22.\sinh(2\ln(1+\sqrt{2})) = 2\sinh(\ln(1+\sqrt{2}))\,\cosh(\ln(1+\sqrt{2})) = 2\times 1 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}.

Remise en forme de II

Nous avons ainsi :
I=12[ln(1+2)+12×22]=12[ln(1+2)+2].I = \frac{1}{2} \left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{1}{2}\times 2\sqrt{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right].

Conclusion

La valeur de l'intégrale est :
I=ln(1+2)+22.\boxed{I = \frac{\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}}{2}}.


Vérification par une autre méthode

On connaît également une primitive de 1+t2\sqrt{1+t^2} :
1+t2dt=t21+t2+12sinh1(t)+C.\int \sqrt{1+t^2}\, dt = \frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(t) + C.
En évaluant de 0 à 1 :
I=[t21+t2+12sinh1(t)]01=122+12sinh1(1)0.I = \left[\frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(t)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(1) - 0.
Sachant que sinh1(1)=ln(1+2)\sinh^{-1}(1)=\ln(1+\sqrt{2}), on retrouve :
I=2+ln(1+2)2.I = \frac{\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})}{2}.

Cette vérification confirme notre résultat.


Réponse finale :

011+t2dt=2+ln(1+2)2\boxed{\int_{0}^{1}\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}}


Le code Python ci-dessous permet de confirmer numériquement ce résultat (I= 1.147793574696319) :