Comment calculer l'intégrale de 0 a 1 de sqrt(1+t**2) dt ?
alphonsio
Le calcul de l'intégrale I=∫011+t2dt donne :
∫011+t2dt=22+ln(1+2)
Nous allons calculer l'intégrale suivante :
I=∫011+t2dt.
Méthode par changement de variable
On peut effectuer la substitution hyperbolique : t=sinhu,doncdt=coshudu. On remarque que : 1+t2=1+sinh2u=coshu. Ainsi, l'intégrale se transforme en : I=∫u(0)u(1)coshu⋅coshudu=∫u(0)u(1)cosh2udu.
Détermination des bornes
Quand t=0 : 0=sinhu⇒u=0.
Quand t=1 : 1=sinhu⇒u=sinh−1(1)=ln(1+2).
L'intégrale devient donc : I=∫0ln(1+2)cosh2udu.
Calcul de l'intégrale
On utilise l'identité : cosh2u=21+cosh(2u). On écrit : I=∫0ln(1+2)21+cosh(2u)du=21∫0ln(1+2)[1+cosh(2u)]du.
Séparons les intégrales : I=21{∫0ln(1+2)1du+∫0ln(1+2)cosh(2u)du}.
Pour la première intégrale : ∫0ln(1+2)1du=ln(1+2).
Pour la seconde intégrale, nous avons : ∫cosh(2u)du=21sinh(2u). Ainsi, ∫0ln(1+2)cosh(2u)du=21sinh(2ln(1+2)).
Nous obtenons donc : I=21[ln(1+2)+21sinh(2ln(1+2))].
Calcul de sinh(2ln(1+2))
Utilisons la formule : sinh(2u)=2sinhucoshu. Ici, avec u=ln(1+2), nous avons d'une part : sinh(ln(1+2))=1, puisque la fonction inverse hyperbolique satisfait par définition sinh(sinh−1(1))=1.
D'autre part, on peut calculer cosh(ln(1+2)). En effet, pour tout x nous avons : cosh(lnx)=2x+x1. En posant x=1+2, on obtient : cosh(ln(1+2))=2(1+2)+1+21. Pour simplifier 1+21, multiplions numérateur et dénominateur par 1−2 : 1+21=(1+2)(1−2)1−2=1−21−2=2−1. Ainsi, cosh(ln(1+2))=2(1+2)+(2−1)=222=2.
On en déduit : sinh(2ln(1+2))=2sinh(ln(1+2))cosh(ln(1+2))=2×1×2=22.
Remise en forme de I
Nous avons ainsi : I=21[ln(1+2)+21×22]=21[ln(1+2)+2].
Conclusion
La valeur de l'intégrale est : I=2ln(1+2)+2.
Vérification par une autre méthode
On connaît également une primitive de 1+t2 : ∫1+t2dt=2t1+t2+21sinh−1(t)+C. En évaluant de 0 à 1 : I=[2t1+t2+21sinh−1(t)]01=212+21sinh−1(1)−0. Sachant que sinh−1(1)=ln(1+2), on retrouve : I=22+ln(1+2).
Cette vérification confirme notre résultat.
Réponse finale :
∫011+t2dt=22+ln(1+2)
Le code Python ci-dessous permet de confirmer numériquement ce résultat (I= 1.147793574696319) :