Le calcul de l'intégrale $I = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + t^2} \, dt$ donne :

$$\int_{0}^{1}\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}$$

Nous allons calculer l'intégrale suivante :

$$I = \int_{0}^{1} \sqrt{1+t^2}\, dt.$$

Méthode par changement de variable

On peut effectuer la substitution hyperbolique :
$$t = \sinh u, \quad \text{donc} \quad dt = \cosh u \, du.$$
On remarque que :
$$\sqrt{1+t^2} = \sqrt{1+\sinh^2 u} = \cosh u.$$
Ainsi, l'intégrale se transforme en :
$$I = \int_{u(0)}^{u(1)} \cosh u \cdot \cosh u \, du = \int_{u(0)}^{u(1)} \cosh^2 u \, du.$$

Détermination des bornes

• Quand $t=0$ : $0 = \sinh u \Rightarrow u=0$.
• Quand $t=1$ : $1 = \sinh u \Rightarrow u = \sinh^{-1}(1) = \ln(1+\sqrt{2})$.

L'intégrale devient donc :
$$I = \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \cosh^2 u\, du.$$

Calcul de l'intégrale

On utilise l'identité :
$$\cosh^2 u = \frac{1+\cosh(2u)}{2}.$$
On écrit :
$$I = \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \frac{1+\cosh(2u)}{2}\, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \left[1+\cosh(2u)\right] du.$$

Séparons les intégrales :
$$I = \frac{1}{2} \left\{ \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} 1\, du + \int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \cosh(2u)\, du \right\}.$$

1. Pour la première intégrale :
   $$\int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} 1\, du = \ln(1+\sqrt{2}).$$

2. Pour la seconde intégrale, nous avons :
   $$\int \cosh(2u)\, du = \frac{1}{2}\sinh(2u).$$
   Ainsi,
   $$\int_{0}^{\ln(1+\sqrt{2})} \cosh(2u)\, du = \frac{1}{2}\sinh\bigl(2\ln(1+\sqrt{2})\bigr).$$

Nous obtenons donc :
$$I = \frac{1}{2} \left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{1}{2}\sinh\bigl(2\ln(1+\sqrt{2})\bigr) \right].$$

Calcul de $\sinh(2\ln(1+\sqrt{2}))$

Utilisons la formule :
$$\sinh(2u) = 2\sinh u\, \cosh u.$$
Ici, avec $u=\ln(1+\sqrt{2})$, nous avons d'une part :
$$\sinh(\ln(1+\sqrt{2})) = 1,$$
puisque la fonction inverse hyperbolique satisfait par définition $\sinh(\sinh^{-1}(1)) = 1$.

D'autre part, on peut calculer $\cosh(\ln(1+\sqrt{2}))$. En effet, pour tout $x$ nous avons :
$$\cosh(\ln x) = \frac{x + \frac{1}{x}}{2}.$$
En posant $x = 1+\sqrt{2}$, on obtient :
$$\cosh(\ln(1+\sqrt{2})) = \frac{(1+\sqrt{2}) + \frac{1}{1+\sqrt{2}}}{2}.$$
Pour simplifier $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$, multiplions numérateur et dénominateur par $1-\sqrt{2}$ :
$$\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})} = \frac{1-\sqrt{2}}{1-2} = \sqrt{2}-1.$$
Ainsi,
$$\cosh(\ln(1+\sqrt{2})) = \frac{(1+\sqrt{2}) + (\sqrt{2}-1)}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.$$

On en déduit :
$$\sinh(2\ln(1+\sqrt{2})) = 2\sinh(\ln(1+\sqrt{2}))\,\cosh(\ln(1+\sqrt{2})) = 2\times 1 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}.$$

Remise en forme de $I$

Nous avons ainsi :
$$I = \frac{1}{2} \left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \frac{1}{2}\times 2\sqrt{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2} \right].$$

Conclusion

La valeur de l'intégrale est :
$$\boxed{I = \frac{\ln(1+\sqrt{2}) + \sqrt{2}}{2}}.$$

Vérification par une autre méthode

On connaît également une primitive de $\sqrt{1+t^2}$ :
$$\int \sqrt{1+t^2}\, dt = \frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(t) + C.$$
En évaluant de 0 à 1 :
$$I = \left[\frac{t}{2}\sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(t)\right]_0^1 = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(1) - 0.$$
Sachant que $\sinh^{-1}(1)=\ln(1+\sqrt{2})$, on retrouve :
$$I = \frac{\sqrt{2} + \ln(1+\sqrt{2})}{2}.$$

Cette vérification confirme notre résultat.

Réponse finale :

$$\boxed{\int_{0}^{1}\sqrt{1+t^2}\,dt = \frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}}$$

Le code Python ci-dessous permet de confirmer numériquement ce résultat (I= 1.147793574696319) :