Nous voulons démontrer que si le produit de deux polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ est le polynôme nul, alors l'un des deux polynômes est nécessairement nul.

Énoncé à démontrer

Si $P(x) \cdot Q(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (ou $x \in \mathbb{C}$ ), alors $P(x) = 0$ ou $Q(x) = 0$.

Méthode 1 (degré des polynomes)

Démonstration

1. Degré d'un produit de polynômes

Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux polynômes non nuls.

• Soit $\deg(P) = m$ et $\deg(Q) = n$.
• Alors, leur produit a un degré $\deg(P \cdot Q) = m + n$.

Si $P(x) \cdot Q(x)$ est le polynôme nul, cela signifie que tous ses coefficients sont nuls, ce qui n'est possible que si son degré est indéfini, c'est-à-dire si l'un des polynômes est nul.

2. Raisonner par l'absurde

Supposons que $P(x) \neq 0$ et $Q(x) \neq 0$.
Alors, comme vu précédemment, $\deg(P \cdot Q) = m + n$ est une somme de deux entiers positifs, donc strictement positive.
Mais nous avons supposé que $P(x) \cdot Q(x)$ est le polynôme nul, ce qui contredit le fait que son degré soit défini.

Donc, notre hypothèse était fausse : au moins l'un des deux polynômes doit être nul.

Conclusion

Nous avons donc démontré que :

$$P(x) \cdot Q(x) = 0 \implies P(x) = 0 \quad \text{ou} \quad Q(x) = 0$$

Ce résultat est fondamental en algèbre et s'étend aux anneaux intègres, où l'absence de diviseurs de zéro garantit cette propriété.

Méthode 2 (anneaux intégres)

Pour démontrer que si le produit de deux polynômes est nul, alors l’un des deux est nul, on peut utiliser plusieurs approches. Voici une démonstration rigoureuse en supposant que l'on travaille sur un anneau intègre $A[X]$, où $A$ est un anneau intègre (comme $\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{C} $) :

1. Définition d’un anneau intègre

Un anneau intègre est un anneau commutatif sans diviseurs de zéro, c'est-à-dire que si $a \cdot b = 0$, alors $a = 0$ ou $b = 0$.

L’anneau des polynômes $A[X]$ est un anneau intègre si $A$ est un anneau intègre.

2. Soit $P(X)$ et $Q(X)$ deux polynômes dans $A[X]$

Supposons que leur produit soit nul :
$$P(X) \cdot Q(X) = 0$$
Nous voulons montrer que cela implique que $P(X) = 0$ ou $Q(X) = 0$.

3. Preuve par le degré du polynôme

• Soit $P(X)$ un polynôme de degré $d$ et $Q(X)$ un polynôme de degré $e$.
• Le produit $P(X) Q(X)$ est un polynôme dont le degré est $d + e$, à condition que $P(X)$ et $Q(X)$ soient non nuls.
• Or, si $P(X) Q(X) = 0$, cela signifie que ce polynôme est le polynôme nul, qui a un degré non défini ou égal à $-\infty$ (inférieur à tout entier).
• Cela est impossible si $d+e$ est un entier naturel, sauf si l’un des polynômes était déjà nul.
• Donc, nécessairement, $P(X) = 0$ ou $Q(X) = 0$.

Conclusion

Dans un anneau intègre, le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux est nul. Cette propriété découle directement du fait que $A[X]$ est un anneau intègre lorsque $A$ l’est aussi.