La primitive de $\sin^2(x)$ est :
$$\int \sin^2(x) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$$

avec $C$ est la constante d'intégration.

La primitive de $\sin^2(x)$ (le carré de la fonction sinus) peut être calculée à l'aide d'une identité trigonométrique et d'une intégration simple.

Identité trigonométrique

L'identité trigonométrique suivante est utile :
$$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.$$

Ainsi, l'intégrale de $\sin^2(x)$ devient :
$$\int \sin^2(x) \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx.$$

Décomposition

On peut décomposer cela comme :
$$\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx.$$

Primitives

Les primitives de chaque terme sont :
$$\int 1 \, dx = x,$$

On sait que :
$$\frac{d}{dx} \sin(2x) = 2\cos(2x).$$

Cela signifie que la primitive de $\cos(2x)$ est donnée par :
$$\int \cos(2x) \, dx = \frac{\sin(2x)}{2}.$$

Combinaison

En combinant le tout, on obtient :
$$\int \sin^2(x) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C,$$
où $C$ est la constante d'intégration.

Résultat final :

$$\int \sin^2(x) \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C.$$