La primitive de $\cos^2(x)$ est :

$$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$$

Trouver la primitive de $\cos^2(x)$ nécessite de transformer cette expression en une forme plus facile à intégrer. On peut utiliser l'identité trigonométrique suivante pour cela :

$$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Ainsi, la primitive de $\cos^2(x)$ devient la primitive de $\frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$$\int \cos^2(x) \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx$$

Cela peut être séparé en deux intégrales:

$$= \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx$$

La primitive de 1 est simplement $x$, donc:

$$\frac{1}{2} \int 1 \, dx = \frac{x}{2}$$

Pour calculer la primitive de $\cos(2x)$, on utilise le changement de variable $u = 2x$, donc $du = 2 \, dx$ ou $dx = \frac{du}{2}$. Cela donne:

$$\frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \cos(u) \, du$$

La primitive de $\cos(u)$ est $\sin(u)$, d'où:

$$\frac{1}{4} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{4} \sin(u) = \frac{1}{4} \sin(2x)$$

En combinant ces résultats, on obtient la primitive de $\cos^2(x)$:

$$\int \cos^2(x) \, dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$$

où $C$ est la constante d'intégration.