Pour montrer que
$$\int_{0}^{\pi} \cos^4(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) \, dx$$

nous allons démontrer que

$$\cos^4(x) = \cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x))$$

1. Développons le terme de droite :

$$\cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) = \cos^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)$$

2. Utilisons l'identité trigonométrique $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ :

$$\cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) = \cos^2(x) - \cos^2(x) \left(1 - \cos^2(x) \right)$$

3. Factorisons :

$$\cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) = \cos^2(x) - \cos^2(x) + \cos^4(x)$$

4. Simplifions :

$$\cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) = \cos^4(x)$$

Pour montrer que
$$\int_{0}^{\pi} \cos^4(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) \, dx$$

nous allons d'abord démontrer que

$$\cos^4(x) = \cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x))$$

En effet, lorsque l'on trace les courbe de $\cos^4(x)$ et de $\cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x))$ on s'apperçoit qu'elle se supperposent, ce qui donne un indice fort de l'existence de cette relation.

Pour démontrer cette relation, nous allons manipuler le terme de droite qui peut être développé en :

$$\cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) = \cos(x) \cos(x) \, - \cos(x) \cos(x) \sin^2(x)$$

Ce qui simplifie en :

$$\cos^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)$$

En utilisant l'identité trigonométrique $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$, nous pouvons transformer le $\sin^2(x)$ :

$$\cos^2(x) \sin^2(x) = \cos^2(x)(1 - \cos^2(x))$$
$$\cos^2(x) \sin^2(x) = \cos^2(x) - \cos^4(x)$$

Ainsi, nous obtenons :

$$\cos^2(x) - \left(\cos^2(x) - \cos^4(x) \right)$$

Cela peut se réécrire en :

$$\cos^2(x) - \cos^2(x) + \cos^4(x)$$

Finalement, cela donne :

$$\cos^4(x)$$

Nous avons donc montré que :

$$\cos^4(x) = \cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x))$$

Donc les intégrales sur les mêmes intervalles sont nécessairement égales :

$$\int_{0}^{\pi} \cos^4(x) \, dx = \int_{0}^{\pi} \cos(x) (\cos(x) - \cos(x) \sin^2(x)) \, dx$$