La primitive de la fonction $\cos(x) - \cos(x)\sin^2(x)$ est donnée par :

$$\int \cos(x) - \cos(x)sin^2(x) \, dx = \sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C$$

• La courbe rouge est la fonction
• La courbe bleu est la primitive

Étape 1 : Factorisation

La fonction peut s'écrire sous la forme :

$$\int \cos(x) - \cos(x)sin^2(x) \, dx = \int \big(\cos(x)(1 -sin^2(x)) \big) \, dx$$

Étape 2 : Changement de variable

Posons $u = \sin(x)$, donc $du = \cos(x) \, dx$. L'intégrale devient :
$$\int \cos(x)(1 - \sin^2(x)) \, dx = \int (1 - u^2) \, du$$
$$\int (1 - u^2) \, du = \int 1 \, du - \int u^2 \, du$$
$$\int (1 - u^2) \, du = u - \frac{u^3}{3} + C$$

Étape 3 : Retour à la variable $x$

Revenons à $u = \sin(x)$ :
$$\int \cos(x) - \cos(x)sin^2(x) \, dx = \sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C$$

Résultat final :

Une primitive de $\cos(x) - \cos(x)\sin^2(x)$ est :
$$\sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C$$