Voici la forme simplifiée de $(\cos(x))^4$ :
$$\cos^4(x) = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$$

On peut simplifier $(\cos(x))^4$ en utilisant une identité trigonométrique de puissance réduite.

Voici comment faire :

$$\cos^4(x) = \left( \cos^2(x) \right)^2$$

Et on sait que :

$$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Donc :

$$\cos^4(x) = \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)^2$$

Développons ça :

$$\cos^4(x) = \frac{(1 + \cos(2x))^2}{4}$$

Développons le carré au numérateur :

$$(1 + \cos(2x))^2 = 1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)$$

Et pour $\cos^2(2x)$, on applique encore une fois l'identité de demi-angle :

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$$

Donc au final :

$$\cos^4(x) = \frac{1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}}{4}$$

Mettons tout ça au même dénominateur :

$$\cos^4(x) = \frac{2 + 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{8} = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}$$

✅ Résultat simplifié :

$$\boxed{\cos^4(x) = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}}$$