Pour démontrer que

$$\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(x)) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(\pi/4 - x)) \, dx,$$

nous utilisons la méthode de substitution et les propriétés de symétrie des fonctions trigonométriques.

Étape 1 : Substitution de la deuxième intégrale

Posons $u = \frac{\pi}{4} - x$. Alors,
$$du = -dx$$

Lorsque

• $x = 0 \implies u = \frac{\pi}{4}$,
• $x = \frac{\pi}{4} \implies u = 0$,

Cela inverse les limites d'intégration. La seconde intégrale devient :

$$\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(\pi/4 - x)) \, dx = \int_{\pi/4}^{0} \ln(\cos(u)) \, (-du)$$

L'inversion des limites pour rétablir l'ordre d'intégration introduit un signe négatif :

$$\int_{\pi/4}^{0} \ln(\cos(u)) \, (-du) = -\int_{\pi/4}^{0} \ln(\cos(u)) \, du = \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(u)) \, du$$

donc :

$$\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(\pi/4 - x)) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(u)) \, du$$

Étape 2 : Renommer la variable

Comme la variable d'intégration est une variable muette, nous pouvons remplacer $u$ par $x$ dans l'expression finale :

$$\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(\pi/4 - x)) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(x)) \, dx$$

Conclusion

Nous avons donc démontré que :
$$\int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(x)) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} \ln(\cos(\pi/4 - x)) \, dx$$