On souahite calculer un produit scalaire entre deux vecteurs, $\vec{AB} = (x - 1, y - 2, z - 1)$ et $\vec{n} = (5, -1, -2)$, puis résoudre l’équation suivante :

$$\vec{AB} \cdot \vec{n} = 0$$

Étape 1 : Écriture du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs $(a_1, a_2, a_3) \cdot (b_1, b_2, b_3)$ est :

$$a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$

Appliquons cela :

$$(x - 1) \cdot 5 + (y - 2) \cdot (-1) + (z - 1) \cdot (-2) = 0$$

Développons :

$$5(x - 1) - (y - 2) - 2(z - 1) = 0$$

$$5x - 5 - y + 2 - 2z + 2 = 0$$

$$5x - y - 2z - 1 = 0$$

Résultat final :

L’équation du produit scalaire nul est :

$$5x - y - 2z = 1$$

C'est l’équation cartésienne d’un plan dans l’espace ℝ³.