Il existe une infinité de vecteurs dont le produit scalaire avec $\vec{U}$et $\vec{V}$est nul. Tous les vecteurs hortogonaux à $\vec{U}$et $\vec{V}$vérifient cette propriété. La définition la plus simple du vecteur $\vec{N}$est celle-ci :

$$\vec{N} = (5, -3, 7)$$

Lorsque le produit scalaire de deux vecteurs est nul, cela implique que les vecteurs sont perpendiculaires.

Nous cherchons donc un vecteur $\vec{N}$qui est orthogonal à $\vec{U} = (2, 1, -1)$ et aussi à $\vec{V} = (1, 4, 1)$.

Pour cela, il suffit de calculer le produit vectoriel de $\vec{U}$et $\vec{V}$.

Formule du produit vectoriel :

Si $\vec{U} = (u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{V} = (v_1, v_2, v_3)$, le produit vectoriel $\vec{U} \times \vec{V}$est donné par :

$$\vec{U} \times \vec{V} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, \, u_3 v_1 - u_1 v_3, \, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right)$$

Application :

Avec $\vec{U} = (2, 1, -1)$ et $\vec{V} = (1, 4, 1)$, nous avons :

• Première composante : $1 \times 1 - (-1) \times 4 = 1 + 4 = 5$
• Deuxième composante : $(-1) \times 1 - 2 \times 1 = -1 - 2 = -3$
• Troisième composante : $2 \times 4 - 1 \times 1 = 8 - 1 = 7$

Ainsi, le produit vectoriel $\vec{U} \times \vec{V}$donne le vecteur :

$$\vec{N} = (5, -3, 7)$$

Résultat :

Le vecteur $\vec{N} = (5, -3, 7)$ est orthogonal à $\vec{U}$et $\vec{V}$.

Vérification

Le produit scalaire entre deux vecteurs $\vec{N} = (5, -3, 7)$ et $\vec{U} = (2, 1, -1)$ se calcule en utilisant la formule suivante :

$$\vec{N} \cdot \vec{U} = N_1 \times U_1 + N_2 \times U_2 + N_3 \times U_3$$

$$\vec{N} \cdot \vec{U} = 5 \times 2 + (-3) \times 1 + 7 \times (-1)$$

$$\vec{N} \cdot \vec{U} = 0$$

Le produit scalaire entre deux vecteurs $\vec{N} = (5, -3, 7)$ et $\vec{V} = (1, 4, 1)$ est calculé selon la formule suivante :

$$\vec{N} \cdot \vec{V} = N_x \cdot V_x + N_y \cdot V_y + N_z \cdot V_z$$

$$\vec{N} \cdot \vec{V} = (5 \times 1) + (-3 \times 4) + (7 \times 1)$$

$$\vec{N} \cdot \vec{V} = 0$$