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Primitive de 3x**2e**-2x**3
alphonsio

La primitive de 3x2e−2x33x^2 e^{-2x^3} est donnée par :

∫3x2e−2x3 dx=−12e−2x3+C\int 3x^2 e^{-2x^3} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x^3} + C

Pour trouver la primitive de l'expression 3x2e−2x33x^2 e^{-2x^3}, notée ∫3x2e−2x3 dx\int 3x^2 e^{-2x^3} \, dx, procédons comme suit :

Étape 1 : Remarquons la structure

L'exponentielle e−2x3e^{-2x^3} est composée avec la fonction −2x3-2x^3. La dérivée de −2x3-2x^3 est −6x2-6x^2. Ainsi, cette intégrale peut être résolue par un changement de variable.

Étape 2 : Changement de variable

Posons :
u=−2x3doncdu=−6x2 dxou encorex2 dx=−16 duu = -2x^3 \quad \text{donc} \quad du = -6x^2 \, dx \quad \text{ou encore} \quad x^2 \, dx = -\frac{1}{6} \, du

Étape 3 : Réécrivons l'intégrale

Substituons dans l'intégrale :
∫3x2e−2x3 dx=∫3eu(−16 du)\int 3x^2 e^{-2x^3} \, dx = \int 3 e^u \left(-\frac{1}{6} \, du \right)

Simplifions :
∫3x2e−2x3 dx=−36∫eu du=−12∫eu du\int 3x^2 e^{-2x^3} \, dx = -\frac{3}{6} \int e^u \, du = -\frac{1}{2} \int e^u \, du

Étape 4 : Calcul de la primitive

La primitive de eue^u est eue^u. Donc :
−12∫eu du=−12eu+C-\frac{1}{2} \int e^u \, du = -\frac{1}{2} e^u + C

Revenons à la variable initiale xx en remplaçant u=−2x3u = -2x^3 :
∫3x2e−2x3 dx=−12e−2x3+C\int 3x^2 e^{-2x^3} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x^3} + C

Résultat final :

∫3x2e−2x3 dx=−12e−2x3+C\int 3x^2 e^{-2x^3} \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2x^3} + C