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B5 Régler ses feux de voiture Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical. Aider Pauline à déterminer si l'inclinaison et la portée de ses phares sont conformes aux normes. Doc. 1 : Dessin de la situation (Image représentant la voiture avec le faisceau lumineux atteignant un mur vertical) Doc. 2 : Schéma de Pauline (pas à l'échelle) - PA = 0,65 m, AC = QP = 5 m et CK = 0,58 m. - P désigne le phare, assimilé à un point. - AS correspond à la portée des feux s’il n’y avait pas le mur. Doc. 3 : Les normes - L'inclinaison des phares correspond au rapport QK/QP - Cette inclinaison est conforme aux normes si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015. - La portée des feux de croisement ne doit pas être inférieure à 30 m pour éclairer assez loin et ne doit pas être supérieure à 45 m pour ne pas éblouir les autres conducteurs.
alphonsio

Voici la réponse résumée. Pour être aux normes, les phares doivent vérifier les deux contraintes :

  1. L'inclinaison des phares est de 0,014, ce qui vérifie la norme (entre 0,01 et 0,015)
  2. La portée est de 46,43 m, ce qui ne respecte pas la norme (45 m maximum)

Donc, les phares de Pauline ne respectent pas la norme sur la portée.

Ce problème est un sujet de brevet des colléges épreuve de mathématique 2014 repris et adapté dans le manuel de mathématique Trans math 3ème Programme 2016 aux édition Nathan :

Prolème de mathématique de 3ème : les phares de Pauline sont-ils aux norme ?

Résolvons le problème en utilisant les données fournies.

Étape 1 : Vérification de l'inclinaison des phares

L'inclinaison des phares est donnée par le rapport :
Inclinaison=QKQP\text{Inclinaison} = \frac{QK}{QP}

Données :

  • QK=PA−KC=0,65−0,58=0,07 mQK = PA - KC = 0,65 - 0,58 = 0,07 \, \text{m}
  • QP=5 mQP = 5 \, \text{m}

Donc :
Inclinaison=0,075=0,014\text{Inclinaison} = \frac{0,07}{5} = 0,014

Analyse :

Les normes indiquent que l'inclinaison doit être comprise entre 0,01 et 0,015.

0.01<0.014<0.0150.01 < 0.014 < 0.015

Conclusion : l'inclinaison est conforme.

Étape 2 : Vérification de la portée des phares

Pour vérifier la portée des phares, nous devons calculer la longueur ASAS. Pour calculer cette longueur, nous allons ajouter un point RR dans la figure afin que le triangle PRSPRS soit rectangle en RR :

Thales dans le schéma pour la portée de phares

Nous pouvons maintenant appliquer le théorème de Thales dans le triangle PSRPSR afin de calculer la longueur PRPR qui est égale à ASAS :

PQPR=QKRS\frac{PQ}{PR} = \frac{QK}{RS}

Comme PR=SAPR = SA, nous pouvons écrire :

PQSA=QKRS\frac{PQ}{SA} = \frac{QK}{RS}

En inversant les deux termes, nous obtenons :

SAPQ=RSQK\frac{SA}{PQ} = \frac{RS}{QK}

Nous pouvons en déduire la longueur SASA :

SA=RSQK×PQSA = \frac{RS}{QK} \times PQ

Données :

  • RS=0,65 mRS = 0,65 \, \text{m}
  • QK=0,07 mQK = 0,07 \, \text{m}
  • PQ=5 mPQ = 5 \, \text{m}

SA=RSQK×PQSA = \frac{RS}{QK} \times PQ
SA=0,650,07×5=46,43 mSA = \frac{0,65}{0,07} \times 5 = 46,43 \text{ m}

La portée des phares de Pauline est de 46.43 m, or pour être aux norme, la portée doit être inférieure à 45 m.

46,43≮4546,43 \nless 45

Conclusion : la portée n'est pas conforme.

Conclusion

Pour être aux normes, les phares doivent vérifier les deux conditions :

  1. L'inclinaison des phares est de 0,014 ce qui vérifie la norme (entre 0,01 et 0,015)
  2. La portée est de 46,43 m, ce qui ne respecte pas la norme (45 m maximum)

En conclusion, les phares ne sont pas conformes à la norme.