Pour calculer les coordonnées du troisième sommet d'un triangle rectangle, étant donné les coordonnées des extrémités de l'hypoténuse et la longueur d'un côté, nous pouvons suivre les étapes suivantes :

• Calculer la longueur de l'hypothénuse
• Calculer la longueur du troisième côté grâce au théorème de Pythagore.
• Calculer les points d'intersection des cercles ayant pour centre les sommets du l'hypothénuse

Considérons le triangle ABC rectangle en C, avec la longueur $l_1$ connue ci-dessous:

Disons que les coordonnées des points A et B sont:

• $A(x_A, y_A)$
• $B(x_B, y_B)$

Calcul de l'hypoténuse

Calculons, avec la formule de la distance entre deux points, la longueur de l'hypoténuse AB que nous nomerons $d$ :

$$d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

Calcul du côté BC

Nous allons, grace au théorème de Pythagore, calculer la longueur du segment BC que nous nomerons $l_2$ :

$$l_2 = \sqrt{ d^2 - {l_1}^2 }$$

Le point C est l'intersection des deux cercles de centre A et B et le rayons respectifs $l_1$ et $l_2$. Notons au passage que les cercles admettent deux points d'intersection :

Calcul de AD et BD

Pour calculer les coordonnées du point C, nous allons utiliser la méthode présentée sur cette page qui consiste à calculer les coordonnées du point de projection de C sur l'hypothénuse. Le point de projection appelé D est représenté sur cette figure:

L'étape suivante consiste à calculer les longueurs AD et BD que nous nomerons respectivement $a$ et $b$ :

$$a = \dfrac{l_1^2 - l_2^2 + d^2 }{2d}$$

$$b = \dfrac{l_2^2 - l_1^2 + d^2 }{2d}$$

Calcul de la hauteur CD

Calculons maintenant la hauteur CD du triangle que nous nomerons $h$ :

$$h = \sqrt{ l_1^2 - a^2 }$$

Calcul du point D

Le point D ayant pour coordonnées $( x_D , y_D)$ peut être calculé de la façon suivante :

$$\begin{split} x_D &= x_A + \dfrac{a}{d} \times (x_B - x_A) \\ y_D &= y_A + \dfrac{a}{d} \times (y_B - y_A) \end{split}$$

Calcul du point C

La dernière étape consiste à calculer les coordonnées du point C. Toutefois, il existe deux possibilité puisqu'il existe deux points d'intersections entre deux cercles.

Nous aurons donc ici deux solutions pour le point C :

$$\begin{split} x_C &= x_D \pm ~ \dfrac{h(y_B - y_A)}{d} \\ y_C &= y_D ~ \pm ~ \dfrac{h(x_B - x_A)}{d} \end{split}$$