La limite de $\left(\frac{x}{x+2}\right)^{2x}$ lorsque $x \to +\infty$ est $e^{-4}$ :

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+2}\right)^{2x} = e^{-4}$$

Pour calculer la limite de $\left(\frac{x}{x+2}\right)^{2x}$ lorsque $x$ tend vers plus l'infini, on peut procéder comme suit :

Étape 1 : Simplification de $\frac{x}{x+2}$

Commençons par simplifier l'expression $\frac{x}{x+2}$.

$$\frac{x}{x+2} = \frac{x}{x \left(1 + \frac{2}{x}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{2}{x}}$$

L'expression initiale devient :

$$y(x) = \left(\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\right)^{2x}$$

ou encore :

Étape 2 : Passage au logarithme naturel

Posons $y = \left(\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\right)^{2x}$. Prenons le logarithme naturel de $y$ :

$$\ln (y) = 2x \ln\left(\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\right)$$

Étape 3 : Changement de variable

Posons $X=\frac{2}{x}$, l'expression devient :

$$\ln (y) = \frac{4}{X} \times \ln\left(\frac{1}{1+X}\right)$$

Appliquons la relation $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ :

$$\ln (y) = -\frac{4}{X} \times \ln(1+X)$$

ou encore :

$$\ln (y) = -4 \times \ln\left(\frac{1+X}{X} \right)$$

Étape 4 : Calcul de la limite

Sachant que $\lim_{u \to 0} \frac{ln(1+u)}{u} = 1$, nous pouvons en déduire :

$$\lim_{X \to 0} -4 \times \ln\left(\frac{1+X}{X} \right) = -4$$

et donc :

$$\lim_{x \to \infty} \ln(y) = 2x \ln\left(\frac{1}{1+\frac{2}{x}}\right) = -4$$

Étape 5 : Exponentiation

Revenons à $y$ en exponentiant :

$$\lim_{x \to \infty} \ln(y) = -4$$

On en déduit finalement que :

$$\lim_{x \to \infty} y = e^{-4}$$

Conclusion

La limite de $\left(\frac{x}{x+2}\right)^{2x}$ lorsque $x \to +\infty$ est :

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x+2}\right)^{2x} = e^{-4}$$