La limite de l'expression $x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right)$ lorsque $x \to \infty$ est $-\frac{1}{2}$ :

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = -\frac{1}{2}$$

Il existe plusieurs façons de démontrer cette limite.

Démonstration 1

Étape 1 : Simplifions l'argument du logarithme.

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$$

L'expression initiale devient :

$$f(x) = x^2 \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \right)$$

Étape 2 : Changement de variable

Posons $y =\frac{1}{x^2}$, l'expression devient :

$$f(x) = \frac{1}{y} \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1 + y}} \right)$$

En utilisant la relation $\ln(\frac{1}{0}) = -\ln(a)$, nous pouvons écrire :

$$f(x) = - \frac{1}{y}\ln \left( \sqrt{1 + y} \right)$$

Transformons la racine en puissance :

$$f(x) = - \frac{1}{y}\ln \left( (1 + y)^{\frac{1}{2}} \right)$$

En utilisant la relation $\ln(x^a) = a\ln(x)$, nous pouvons écrire :

$$f(x) = - \frac{1}{2} \times \frac{1}{y} \times \ln \left( 1 + y \right)$$

$$f(x) = - \frac{1}{2} \times \frac{ \ln \left( 1 + y \right) }{y}$$

Sachant que $\lim_{y \to 0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1$, nous pouvons en déduire :

$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2} \frac{ \ln \left( 1 + y \right) }{y} = -\frac{1}{2}$$

Donc :

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = -\frac{1}{2}$$

Démonstration 2

Étape 1 : Simplifions l'argument du logarithme.

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$$

Pour $x \to \infty$, $\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1$, donc :
$$\ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \right) = \ln \left( \left(1 + \frac{1}{x^2} \right)^{-\frac{1}{2}} \right) = -\frac{1}{2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)$$

Étape 2 : Changement de variable

Posons $y =\frac{1}{x^2}$ :

Pour $x \to \infty$ :

$$f(x) \to -\frac{1}{2} x^2 \ln \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)$$
$$f(x) \to -\frac{1}{2} \frac{\ln \left( 1 + y \right)}{y}$$

Sachant que $\lim_{y \to 0} \frac{ln(1+y)}{y} = 1$, nous pouvons en déduire :

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = -\frac{1}{2}$$

Démonstration 3

Étape 1 : Simplifions l'argument du logarithme.

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}$$

Pour $x \to \infty$, $\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1$, donc :
$$\ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \right) = \ln \left( \left(1 + \frac{1}{x^2} \right)^{-\frac{1}{2}} \right) = -\frac{1}{2} \ln \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right)$$

Étape 2 : Développement de $\ln(1 + \frac{1}{x^2})$ pour $x \to \infty$.

En utilisant l'approximation $\ln(1 + u) \sim u$ pour $u \to 0$, on obtient :
$$\ln \left( 1 + \frac{1}{x^2} \right) \sim \frac{1}{x^2}$$

Donc :
$$\ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \sim -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2}$$

Pour cette étape, nous pouvons également

Étape 3 : Multiplions par $x^2$.

$$f(x) = x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \sim x^2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \right)$$

Simplifions :
$$f(x) \sim -\frac{1}{2}$$

Nous en déduisons :

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = -\frac{1}{2}$$

Résultat :

Les trois démonstrations ammènent au même résultat :

$$\lim_{x \to \infty} x^2 \ln \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) = -\frac{1}{2}$$