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Échelonner le système suivant en fonction de a et b: - x+2y+az = 2(3a+2) - 2x+ay+z = b - ax+y+2z = b - x+y+z = 2(a+3)
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Voici le système échelonné :

x+2y+az=6a+4−y+(1−a)z=4a+2(a2−3a+3)z=b+2a2−12a+20=2b−2a2−6a−14\begin{align} x + 2y + az &= 6a + 4 \nonumber \\ -y + (1-a)z &= 4a+2 \nonumber \\ (a^2 - 3a +3)z &= b + 2a^2 -12a +2 \nonumber \\ 0 &= 2b-2a^2 -6a -14 \nonumber \end{align}

Pour échelonner le système d'équations en fonction de aa et bb, on cherche à l'écrire sous une forme pouvant potentiellement permettre d'identifier des relations ou simplifications. Un système est échelonné si le nombre de coefficients nuls commençant une ligne croît strictement ligne après ligne.

Voici le système présenté:

x+2y+az=2(3a+2)2x+ay+z=bax+y+2z=bx+y+z=2(a+3)\begin{align} x + 2y + az &= 2(3a + 2) \\ 2x + ay + z &= b \\ ax + y + 2z &= b \\ x + y + z &= 2(a + 3) \end{align}

Élimination de xx dans les équations (2), (3), et (4) :

En combinant l'équation (1) avec les autres, nous pouvons supprimer les termes en xx dans les équation (1), (2) et (3):

(2)←(2)−2×(1)(3)←(3)−a×(1)(4)←(4)−(1)\begin{align} (2) \leftarrow (2)-2\times(1) \nonumber \\ (3) \leftarrow (3)-a\times(1) \nonumber \\ (4) \leftarrow (4)-(1) \nonumber \end{align}

Nous obtenons le système ci-dessous :

x+2y+az=2(3a+2)(a−4)y+(1−2a)z)=b−4(3a+2)(1−2a)y+2(1−a)z=b−2a(3a+2)−y+(1−a)z=4a+2\begin{align} x + 2y + az &= 2(3a + 2) \\ (a-4)y + (1-2a)z) &= b-4(3a+2) \\ (1-2a)y + 2(1-a)z &= b-2a(3a+2) \\ -y + (1-a)z &= 4a+2 \end{align}

Permutons les équations (6) et (8) pour plus de simplicité :

x+2y+az=2(3a+2)−y+(1−a)z=4a+2(1−2a)y+2(1−a)z=b−2a(3a+2)(a−4)y+(1−2a)z=b−4(3a+2)\begin{align} x + 2y + az &= 2(3a + 2) \\ -y + (1-a)z &= 4a+2 \\ (1-2a)y + 2(1-a)z &= b-2a(3a+2) \\ (a-4)y + (1-2a)z &= b-4(3a+2) \end{align}

Élimination de yy dans les équations (11) et (12) :

De la même façon, nous pouvons combiner l'éqation (10) avec (11) et (12) pour éliminer les termes en yy dans les deux dernières :

(11)←(11)+(1−2a)×(10)(12)←(12)+(a−4)×(10)\begin{align} (11) \leftarrow (11)+(1-2a) \times(10) \nonumber \\ (12) \leftarrow (12)+(a-4) \times(10) \nonumber \\ \end{align}

Nous obtenons le nouveau système ci-dessous :

x+2y+az=2(3a+2)−y+(1−a)z=4a+2(a2−3a+3)z=b+2a2−12a+2(−a2+3a−3)z=b−2a2+6a−16\begin{align} x + 2y + az &= 2(3a + 2) \\ -y + (1-a)z &= 4a+2 \\ (a^2 - 3a +3)z &= b + 2a^2 -12a +2 \\ (-a^2 + 3a -3)z &= b-2a^2+6a-16 \end{align}

Élimination de zz dans l'équations (16) :

Combinons les équations (15) et (16) :

(16)←(16)+(15)\begin{align} (16) \leftarrow (16)+(15) \nonumber \end{align}

Nous obtenons le système échelonné ci-dessous :

x+2y+az=6a+4−y+(1−a)z=4a+2(a2−3a+3)z=b+2a2−12a+20=2b−2a2−6a−14\begin{align} x + 2y + az &= 6a + 4 \\ -y + (1-a)z &= 4a+2 \\ (a^2 - 3a +3)z &= b + 2a^2 -12a +2 \\ 0 &= 2b-2a^2 -6a -14 \end{align}

La résolution de ce système peut impliquer des conditions sur aa et bb. Par analogie avec l'algèbre matricielle, la solution dépendra des valeurs particulières de aa et bb qui assurent la compatibilité du système. La condition de compatibilité est imposée par l'équation (20).