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Comment simplifier (x+1)(x-1)-(x-1)² ?
alphonsio

L'expression simplifié est 2x - 2 ou encore 2(x-1)

(x+1)(x−1)−(x−1)2=2x−2=2(x−1)(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = 2x - 2 = 2(x-1)

L'expression (x+1)(x−1)−(x−1)2(x+1)(x-1) - (x-1)^2 peut se simplifier de plusieurs façon.

Méthode 1

Simplifions l'expression (x+1)(x−1)−(x−1)2(x+1)(x-1) - (x-1)^2 pas à pas :

Étape 1 : Développer chaque terme

  • (x+1)(x−1)(x+1)(x-1) est une identité remarquable de la forme (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 :
    (x+1)(x−1)=x2−1(x+1)(x-1) = x^2 - 1

  • (x−1)2(x-1)^2 est une identité remarquable de la forme (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 :
    (x−1)2=x2−2x+1(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1

Étape 2 : Substituer dans l'expression initiale

On remplace les termes développés dans l'expression :
(x+1)(x−1)−(x−1)2=(x2−1)−(x2−2x+1)(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = (x^2 - 1) - (x^2 - 2x + 1)

Étape 3 : Simplifier en supprimant les parenthèses

x2−1−x2+2x−1x^2 - 1 - x^2 + 2x - 1

Étape 4 : Réduire les termes similaires

  • x2−x2=0x^2 - x^2 = 0
  • −1−1=−2-1 - 1 = -2
  • Il reste 2x−22x - 2.

Résultat final :

(x+1)(x−1)−(x−1)2=2x−2(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = \boxed{ 2x - 2 }

ou

(x+1)(x−1)−(x−1)2=2(x−1)(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = \boxed{ 2(x - 1) }

Méthode 2

On peut aussi remarquer que (x−1)(x-1) est un facteur des deux termes :

(x+1)(x−1)−(x−1)2=(x+1)(x−1)−(x−1)(x−1)(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = (x+1)\boxed{(x-1)} - (x-1)\boxed{(x-1)}

Ce qui se simplifie :

((x+1)−(x−1))(x−1)\left( (x+1) - (x-1) \right) (x-1)

(x+1−x+1)(x−1)(x+1-x+1) (x-1)

2(x−1)2 (x-1)

Résultat final :

On retrouve bien le résultat précédent :

(x+1)(x−1)−(x−1)2=2x−2(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = \boxed{ 2x - 2 }

ou

(x+1)(x−1)−(x−1)2=2(x−1)(x+1)(x-1) - (x-1)^2 = \boxed{ 2(x - 1) }