La dérivée de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4x + 7}$ est :

$$f'(x) = \frac{4x^2 + 14x + 4}{(4x + 7)^2}$$

Pour trouver la dérivée de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{4x + 7}$, nous allons utiliser la règle du quotient. Soit $u(x) = x^2 - 1$ et $v(x) = 4x + 7$. La règle du quotient est donnée par :

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

Calculons les dérivées individuelles :

1. Dérivée de $u(x) = x^2 - 1$:

   $$u'(x) = 2x$$

2. Dérivée de $v(x) = 4x + 7$:

   $$v'(x) = 4$$

En appliquant la règle du quotient, nous obtenons :

$$f'(x) = \frac{(2x)(4x + 7) - (x^2 - 1)(4)}{(4x + 7)^2}$$

Calculons le numérateur :

$$(2x)(4x + 7) = 8x^2 + 14x$$

$$(x^2 - 1)(4) = 4x^2 - 4$$

Donc, le numérateur devient :

$$8x^2 + 14x - (4x^2 - 4) = 8x^2 + 14x - 4x^2 + 4 = 4x^2 + 14x + 4$$

La dérivée est donc :

$$f'(x) = \frac{4x^2 + 14x + 4}{(4x + 7)^2}$$

Ainsi, la dérivée de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4x + 7}$ est :

$$f'(x) = \frac{4x^2 + 14x + 4}{(4x + 7)^2}$$

• La courbe rouge est la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4x + 7}$
• La courbe bleue est sa dérivée