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Dérivée de 2/(1-x) ?
alphonsio

La dérivée de f(x)=21−xf(x) = \frac{2}{1-x} est :

f′(x)=2(1−x)2f'(x) = \frac{2}{(1-x)^2}

La courbe rouge est la fonction f(x)=21−xf(x) = \frac{2}{1-x}, la courbe bleue est la dérivée.

Méthode 1

Pour déterminer la dérivée de la fonction f(x)=21−xf(x) = \frac{2}{1-x}, nous allons utiliser la règle de dérivation pour les fonctions de la forme uv\frac{u}{v}, où uu et vv sont des fonctions de xx. Cette règle, appelée la règle du quotient, est donnée par :

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Pour notre fonction, nous avons u=2u = 2 et v=1−xv = 1-x.

  • La dérivée de uu est u′=0u' = 0, car u=2u = 2 est une constante.
  • La dérivée de vv est v′=−1v' = -1.

En utilisant la règle du quotient :

f′(x)=(0)(1−x)−(2)(−1)(1−x)2f'(x) = \frac{(0)(1-x) - (2)(-1)}{(1-x)^2}

f′(x)=0+2(1−x)2f'(x) = \frac{0 + 2}{(1-x)^2}

f′(x)=2(1−x)2f'(x) = \frac{2}{(1-x)^2}

Ainsi, la dérivée de la fonction f(x)=21−xf(x) = \frac{2}{1-x} est :

f′(x)=2(1−x)2\boxed{ f'(x) = \frac{2}{(1-x)^2} }

Méthode 2

On part de la fonction :

f(x)=21−xf(x) = \frac{2}{1 - x}

Étape 1 : Réécriture de la fonction

On peut la réécrire comme :

f(x)=2⋅(1−x)−1f(x) = 2 \cdot (1 - x)^{-1}

Étape 2 : Dérivation

On utilise la règle de dérivation pour une puissance :

ddx[(1−x)−1]=−1⋅(1−x)−2⋅ddx(1−x)\frac{d}{dx}[(1 - x)^{-1}] = -1 \cdot (1 - x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x)

La dérivée de 1−x1 - x est −1-1, donc :

ddx[(1−x)−1]=−1⋅(1−x)−2⋅(−1)=(1−x)−2\frac{d}{dx}[(1 - x)^{-1}] = -1 \cdot (1 - x)^{-2} \cdot (-1) = (1 - x)^{-2}

On multiplie ensuite par le coefficient 22 :

f′(x)=2⋅(1−x)−2f'(x) = 2 \cdot (1 - x)^{-2}

Étape 3 : Réécriture sous forme de fraction

En remettant sous forme de fraction classique :

f′(x)=2(1−x)2f'(x) = \frac{2}{(1 - x)^2}

Résultat final :

On retrouve bien le même résultat qu'avec la première méthode :

f′(x)=2(1−x)2\boxed{ f'(x) = \frac{2}{(1-x)^2} }