La dérivée de $f(x) = 5\sqrt{x}$ est :

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}$$

Pour déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = 5\sqrt{x}$, nous commençons par réécrire la racine carrée sous forme de puissance :

$$f(x) = 5x^{1/2}$$

Ensuite, nous utilisons la règle de dérivation des puissances, qui stipule que la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.

En appliquant cette règle, nous obtenons :

$$f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1}$$

$$f'(x) = \frac{5}{2}x^{-1/2}$$

Cela peut également être exprimé sous forme de racine carrée :

$$f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}$$

Ainsi, la dérivée de $f(x) = 5\sqrt{x}$ est :

$$\boxed{f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}}$$

La courbe rouge représente la fonction $f(x)$ et la courbe bleu est sa dérivée :