La fonction f(x)=ex−1x−1+2x est paire.
Pour montrer cette propriété, il faut démontrer que f(x)−f(−x)=0
Pour démontrer qu'une fonction f(x) est paire, il faut montrer que f(x)=f(−x).
Prenons la fonction f(x)=ex−1x−1+2x et calculons f(−x).
Calcul de f(−x):
f(−x)=e−x−1−x−1−2x
Pour démontrer que f(x) est paire, nous allons démontrer que la relation f(x)−f(−x)=0 :
f(x)−f(−x)=ex−1x−1+2x−e−x−1−x+1+2x
Rassemblons les termes similaires :
f(x)−f(−x)=ex−1x+e−x−1x−1+1+2x+2x
f(x)−f(−x)=ex−1x+e−x−1x+x
Mettons les deux termes au même dénominateur :
f(x)−f(−x)=(ex−1)(e−x−1)x(e−x−1)+(ex−1)(e−x−1)x(ex−1)+x
f(x)−f(−x)=xexe−x−ex−e−x+1e−x−1+ex−1+x
Comme ex×e−x=1, nous pouvons simplifier le numérateur :
f(x)−f(−x)=x1−ex−e−x+1e−x−1+ex−1+x
Après cette simplification, on s'apperçoit que le numérateur est égal au dénominateur de la fraction :
f(x)−f(−x)=x−e−x−ex+2e−x+ex−2+x
f(x)−f(−x)=−x(e−x+ex−2e−x+ex−2)+x
f(x)−f(−x)=−x+x
f(x)−f(−x)=0
Donc f(x)=f(−x), nous pouvons en conclure que la fonction f(x) est paire.