La fonction $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} - 1 + \frac{x}{2}$ est paire.

Pour montrer cette propriété, il faut démontrer que $f(x) - f(-x) = 0$

Pour démontrer qu'une fonction $f(x)$ est paire, il faut montrer que $f(x) = f(-x)$.

Prenons la fonction $f(x) = \frac{x}{e^x - 1} - 1 + \frac{x}{2}$ et calculons $f(-x)$.

Calcul de $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{-x}{e^{-x} - 1} - 1 - \frac{x}{2}$$

Pour démontrer que $f(x)$ est paire, nous allons démontrer que la relation $f(x) - f(-x) = 0$ :

$$f(x) - f(-x) = \frac{x}{e^x - 1} - 1 + \frac{x}{2} - \frac{-x}{e^{-x} - 1} + 1 + \frac{x}{2}$$

Rassemblons les termes similaires :

$$f(x) - f(-x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{e^{-x} - 1} - 1 + 1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}$$

$$f(x) - f(-x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{e^{-x} - 1} + x$$

Mettons les deux termes au même dénominateur :

$$f(x) - f(-x) = \frac{x(e^{-x}-1)}{(e^x - 1)(e^{-x} - 1)} + \frac{x(e^x - 1)}{(e^x - 1)(e^{-x} - 1)} + x$$

$$f(x) - f(-x) = x\frac{e^{-x}-1 + e^x - 1}{e^xe^{-x} -e^x -e^{-x} + 1} + x$$

Comme $e^x \times e^{-x} = 1$, nous pouvons simplifier le numérateur :

$$f(x) - f(-x) = x\frac{e^{-x}-1 + e^x - 1}{1 -e^x -e^{-x} + 1} + x$$

Après cette simplification, on s'apperçoit que le numérateur est égal au dénominateur de la fraction :

$$f(x) - f(-x) = x\frac{e^{-x} + e^x - 2}{-e^{-x} -e^x + 2} + x$$

$$f(x) - f(-x) = -x \left( \frac{e^{-x} + e^x - 2}{e^{-x} +e^x - 2} \right) + x$$

$$f(x) - f(-x) = -x + x$$

$$f(x) - f(-x) = 0$$

Donc $f(x) = f(-x)$, nous pouvons en conclure que la fonction $f(x)$ est paire.