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Comment démontrer que (x/((e^x)-1))-1+(x/2) est paire?
alphonsio

Tracé de la fonction x:(e^x) -1 + x/2

La fonction f(x)=xex11+x2f(x) = \frac{x}{e^x - 1} - 1 + \frac{x}{2} est paire.

Pour montrer cette propriété, il faut démontrer que f(x)f(x)=0f(x) - f(-x) = 0


Pour démontrer qu'une fonction f(x)f(x) est paire, il faut montrer que f(x)=f(x)f(x) = f(-x).

Prenons la fonction f(x)=xex11+x2f(x) = \frac{x}{e^x - 1} - 1 + \frac{x}{2} et calculons f(x)f(-x).

Calcul de f(x)f(-x):

f(x)=xex11x2f(-x) = \frac{-x}{e^{-x} - 1} - 1 - \frac{x}{2}

Pour démontrer que f(x)f(x) est paire, nous allons démontrer que la relation f(x)f(x)=0f(x) - f(-x) = 0 :

f(x)f(x)=xex11+x2xex1+1+x2f(x) - f(-x) = \frac{x}{e^x - 1} - 1 + \frac{x}{2} - \frac{-x}{e^{-x} - 1} + 1 + \frac{x}{2}

Rassemblons les termes similaires :

f(x)f(x)=xex1+xex11+1+x2+x2f(x) - f(-x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{e^{-x} - 1} - 1 + 1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2}

f(x)f(x)=xex1+xex1+xf(x) - f(-x) = \frac{x}{e^x - 1} + \frac{x}{e^{-x} - 1} + x

Mettons les deux termes au même dénominateur :

f(x)f(x)=x(ex1)(ex1)(ex1)+x(ex1)(ex1)(ex1)+xf(x) - f(-x) = \frac{x(e^{-x}-1)}{(e^x - 1)(e^{-x} - 1)} + \frac{x(e^x - 1)}{(e^x - 1)(e^{-x} - 1)} + x

f(x)f(x)=xex1+ex1exexexex+1+xf(x) - f(-x) = x\frac{e^{-x}-1 + e^x - 1}{e^xe^{-x} -e^x -e^{-x} + 1} + x

Comme ex×ex=1e^x \times e^{-x} = 1, nous pouvons simplifier le numérateur :

f(x)f(x)=xex1+ex11exex+1+xf(x) - f(-x) = x\frac{e^{-x}-1 + e^x - 1}{1 -e^x -e^{-x} + 1} + x

Après cette simplification, on s'apperçoit que le numérateur est égal au dénominateur de la fraction :

f(x)f(x)=xex+ex2exex+2+xf(x) - f(-x) = x\frac{e^{-x} + e^x - 2}{-e^{-x} -e^x + 2} + x

f(x)f(x)=x(ex+ex2ex+ex2)+xf(x) - f(-x) = -x \left( \frac{e^{-x} + e^x - 2}{e^{-x} +e^x - 2} \right) + x

f(x)f(x)=x+xf(x) - f(-x) = -x + x

f(x)f(x)=0f(x) - f(-x) = 0

Donc f(x)=f(x)f(x) = f(-x), nous pouvons en conclure que la fonction f(x)f(x) est paire.