La linéarisation de $\sin^4(x)$ est donnée par :

$$\sin⁴(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$$

Pour développer $sin^4(x)$, nous pouvons utiliser deux méthodes : les identités trigonométriques ou les formules d'Euler.

1. Identités trigonométriques

Pour développer $\sin^4(x)$, il est utile d'utiliser les identités trigonométriques :

$$\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$

et

$$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Nous allons appliquer ces identités pour $\sin^2(x)$ dans $\sin^4(x)$:

$$\sin^4(x) = (\sin^2(x))^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2$$

Développant le carré, nous obtenons:

$$\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{(1 - \cos(2x))^2}{4}$$

Le numérateur se développe ainsi :

$$(1 - \cos(2x))^2 = 1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)$$

Vous pouvez appliquer à nouveau l'identité de réduction de puissance à $\cos^2(2x)$:

$$\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$$

Remplacez $\cos^2(2x)$ dans l'expression précédente:

$$1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2} = 1 - 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{\cos(4x)}{2}$$

Ce qui se simplifie en:

$$\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}$$

Ainsi, l'expression complète devient:

$$\sin^4(x) = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}\right)$$

Multipliez par $\frac{1}{4}$:

$$= \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$$

Donc, le résultat est :

$$\sin^4(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$$

2. Formules d'Euler

Pour exprimer $\sin^4(x)$ en termes de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ à l'aide des formules d'Euler, nous pouvons d'abord utiliser la forme complexe de $\sin(x)$.

1. La formule d'Euler pour le sinus est :
   $$\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$

2. Ainsi, $\sin^4(x)$ s'écrit comme :
   $$\sin^4(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^4$$

3. En développant, nous avons :
   $$\sin^4(x) = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^4}{(2i)^4} = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^4}{16}$$

4. En développant $(e^{ix} - e^{-ix})^4$ à l'aide de la formule du binôme, nous obtenons :
   $$(e^{ix} - e^{-ix})^4 = e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}$$

5. Donc :
   $$\sin^4(x) = \frac{e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}}{16}$$

6. Maintenant, nous pouvons réécrire cela en termes de $\cos(kx)$ en utilisant les identités $e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx)$ pour les différentes puissances de $e^{ix}$. Cela donne :
   $$\sin^4(x) = \frac{1}{8} - \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos(4x)}{8}$$

Ainsi, l'expression finale de $\sin^4(x)$ en termes de $\cos(kx)$ est bien :
$$\sin^4(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$$

Les deux méthodes permettent bien d'atteindre le même résultat.