La linéarisation de sin4(x) est donnée par :
sin4(x)=83−21cos(2x)+81cos(4x)
Pour développer sin4(x), nous pouvons utiliser deux méthodes : les identités trigonométriques ou les formules d'Euler.
1. Identités trigonométriques
Pour développer sin4(x), il est utile d'utiliser les identités trigonométriques :
sin2(x)=21−cos(2x)
et
cos2(x)=21+cos(2x)
Nous allons appliquer ces identités pour sin2(x) dans sin4(x):
sin4(x)=(sin2(x))2=(21−cos(2x))2
Développant le carré, nous obtenons:
(21−cos(2x))2=4(1−cos(2x))2
Le numérateur se développe ainsi :
(1−cos(2x))2=1−2cos(2x)+cos2(2x)
Vous pouvez appliquer à nouveau l'identité de réduction de puissance à cos2(2x):
cos2(2x)=21+cos(4x)
Remplacez cos2(2x) dans l'expression précédente:
1−2cos(2x)+21+cos(4x)=1−2cos(2x)+21+2cos(4x)
Ce qui se simplifie en:
23−2cos(2x)+2cos(4x)
Ainsi, l'expression complète devient:
sin4(x)=41(23−2cos(2x)+2cos(4x))
Multipliez par 41:
=83−21cos(2x)+81cos(4x)
Donc, le résultat est :
sin4(x)=83−21cos(2x)+81cos(4x)
2. Formules d'Euler
Pour exprimer sin4(x) en termes de cos(x) et sin(x) à l'aide des formules d'Euler, nous pouvons d'abord utiliser la forme complexe de sin(x).
La formule d'Euler pour le sinus est :
sin(x)=2ieix−e−ix
Ainsi, sin4(x) s'écrit comme :
sin4(x)=(2ieix−e−ix)4
En développant, nous avons :
sin4(x)=(2i)4(eix−e−ix)4=16(eix−e−ix)4
En développant (eix−e−ix)4 à l'aide de la formule du binôme, nous obtenons :
(eix−e−ix)4=e4ix−4e2ix+6−4e−2ix+e−4ix
Donc :
sin4(x)=16e4ix−4e2ix+6−4e−2ix+e−4ix
Maintenant, nous pouvons réécrire cela en termes de cos(kx) en utilisant les identités eikx+e−ikx=2cos(kx) pour les différentes puissances de eix. Cela donne :
sin4(x)=81−2cos(2x)+8cos(4x)
Ainsi, l'expression finale de sin4(x) en termes de cos(kx) est bien :
sin4(x)=83−21cos(2x)+81cos(4x)
Les deux méthodes permettent bien d'atteindre le même résultat.