user
Développer (sin(x))**4
alphonsio

Le développement de sin⁡4(x)\sin^4(x) est donné par :
sin⁡4(x)=38−12cos⁡(2x)+18cos⁡(4x)\sin⁴(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)

Notons que sin⁡4(x)\sin^4(x) peut aussi s'écrire sous la forme :

sin⁡4(x)=cos⁡4(x)−2cos⁡2(x)+1\sin^4(x) = \cos^4(x) - 2\cos^2(x) +1

Pour développer sin4(x)sin^4(x), nous pouvons utiliser deux méthodes : les identités trigonométriques ou les formules d'Euler.

1. Identités trigonométriques

Pour développer sin⁡4(x)\sin^4(x), il est utile d'utiliser les identités trigonométriques :

sin⁡2(x)=1−cos⁡(2x)2\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}

et

cos⁡2(x)=1+cos⁡(2x)2\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

Nous allons appliquer ces identités pour sin⁡2(x)\sin^2(x) dans sin⁡4(x)\sin^4(x):

sin⁡4(x)=(sin⁡2(x))2=(1−cos⁡(2x)2)2\sin^4(x) = (\sin^2(x))^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2

Développant le carré, nous obtenons:

(1−cos⁡(2x)2)2=(1−cos⁡(2x))24\left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{(1 - \cos(2x))^2}{4}

Le numérateur se développe ainsi :

(1−cos⁡(2x))2=1−2cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)(1 - \cos(2x))^2 = 1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)

Vous pouvez appliquer à nouveau l'identité de réduction de puissance à cos⁡2(2x)\cos^2(2x):

cos⁡2(2x)=1+cos⁡(4x)2\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}

Remplacez cos⁡2(2x)\cos^2(2x) dans l'expression précédente:

1−2cos⁡(2x)+1+cos⁡(4x)2=1−2cos⁡(2x)+12+cos⁡(4x)21 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2} = 1 - 2\cos(2x) + \frac{1}{2} + \frac{\cos(4x)}{2}

Ce qui se simplifie en:

32−2cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}

Ainsi, l'expression complète devient:

sin⁡4(x)=14(32−2cos⁡(2x)+cos⁡(4x)2)\sin^4(x) = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{\cos(4x)}{2}\right)

Multipliez par 14\frac{1}{4}:

=38−12cos⁡(2x)+18cos⁡(4x)= \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)

Donc, le résultat est :

sin⁡4(x)=38−12cos⁡(2x)+18cos⁡(4x)\sin^4(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)

2. Formules d'Euler

Pour exprimer sin⁡4(x)\sin^4(x) en termes de cos⁡(x)\cos(x) et sin⁡(x)\sin(x) à l'aide des formules d'Euler, nous pouvons d'abord utiliser la forme complexe de sin⁡(x)\sin(x).

  1. La formule d'Euler pour le sinus est :
    sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}

  2. Ainsi, sin⁡4(x)\sin^4(x) s'écrit comme :
    sin⁡4(x)=(eix−e−ix2i)4\sin^4(x) = \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^4

  3. En développant, nous avons :
    sin⁡4(x)=(eix−e−ix)4(2i)4=(eix−e−ix)416\sin^4(x) = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^4}{(2i)^4} = \frac{(e^{ix} - e^{-ix})^4}{16}

  4. En développant (eix−e−ix)4(e^{ix} - e^{-ix})^4 à l'aide de la formule du binôme, nous obtenons :
    (eix−e−ix)4=e4ix−4e2ix+6−4e−2ix+e−4ix(e^{ix} - e^{-ix})^4 = e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}

  5. Donc :
    sin⁡4(x)=e4ix−4e2ix+6−4e−2ix+e−4ix16\sin^4(x) = \frac{e^{4ix} - 4e^{2ix} + 6 - 4e^{-2ix} + e^{-4ix}}{16}

  6. Maintenant, nous pouvons réécrire cela en termes de cos⁡(kx)\cos(kx) en utilisant les identités eikx+e−ikx=2cos⁡(kx)e^{ikx} + e^{-ikx} = 2\cos(kx) pour les différentes puissances de eixe^{ix}. Cela donne :
    sin⁡4(x)=18−cos⁡(2x)2+cos⁡(4x)8\sin^4(x) = \frac{1}{8} - \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos(4x)}{8}

Ainsi, l'expression finale de sin⁡4(x)\sin^4(x) en termes de cos⁡(kx)\cos(kx) est bien :
sin⁡4(x)=38−12cos⁡(2x)+18cos⁡(4x)\sin^4(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)

Les deux méthodes permettent bien d'atteindre le même résultat.